是MST中相邻最轻的边缘

Question

在无向连通图中，如果e是与顶点v相邻的最亮边，那么它是某个MST的一部分吗？

我说是的，因为MST选择了所有最轻的边缘，这是正确的想法吗？

Answer 1

令T为最小权重生成树，vw是与v相关的最轻边。令P为v与w之间的T中的唯一路径。如果P本身不是vw，那么它包含一些其他边缘vx。设T'是通过插入vw并删除vx而从T导出的边集。我声称（1）T'至少和T一样轻，因为vw至少和vx一样轻（2）T'是树，因为它连接了所有东西（对于T中的每次步行，导出T中的相关步行） '具有相同的端点，用vw代替vx和P的其余部分）并且具有正确的边数，因此（3）T'是包含vw的最小权重生成树。