我正在研究一种算法，以检查给定边缘是否包含在所有可能的mst之一中。
对于这个问题，我们正在考虑非不同的值，并且我们的边e连接顶点A＆amp;乙
到目前为止，我有：如果一条路径可以从A到B组成，边缘的权重小于或等于我们边缘e的权重 - 我们可以说边缘e不是任何MST的一部分
我在这里遗漏了什么/关于更好的算法的想法吗？
编辑：
对涉及循环属性的解决方案有什么想法 - 所以，我们认为所有边缘的权重都小于我们正在考虑的边缘。如果我们可以使用这些边缘从A-> B创建路径，我们可以说它不是任何MST的一部分吗？
答案 0 :(得分：21)
我们将使用MST cycle property来解决这个问题，它说：“对于图中的任何周期C，如果C的边e的权重大于C的所有其他边的权重，那么edge不能属于MST。“
现在，运行以下O(E+V)算法来测试连接顶点u和v的边E是否是某个MST的一部分。
第1步
从边缘E的一个端点（u或v）运行dfs，只考虑那些权重小于E的边缘。
第2步
案例1 如果在此dfs的末尾，顶点u和v连接，则边E不能是某些MST的一部分。这是因为在这种情况下，图中肯定存在一个周期，边E具有最大权重，并且它不能是MST的一部分（来自循环特性）。
案例2 但是如果在dfs u和v的末尾保持断开连接，那么边E必须是某些MST的一部分，因为在这种情况下，E总是不是它所属的所有周期中的最大权重边。
答案 1 :(得分：0)
假设A-B是你的图形而e是唯一的边缘。然后e是MST的一部分，但是有一条路径A-B足以满足您的条件。
即使你要求e不是这种路径的一部分，也是错误的。只需绘制A和B之间具有相同权重的两条边e1和e2的图形。
你还应该考虑一个图A-B-C，它有一个来自A-C的附加边，其中所有边都有一个权重。无论您移除哪个边缘，都可以获得最小的生成树。因此任何边缘都可以成为MST的一部分。
答案 2 :(得分：0)
为了检查一条边是否应该在MST中，你应该从检查是否在图中添加这条边创建一个循环开始，我们都知道MST不能有任何循环。
如果确实如此，那么只需找出至少两条路线 路线的重量较轻。如果您的边缘e具有最小重量， 那么它应该在MST中，否则它只是一个边缘 形成一个周期加上并不是图表中包含的最佳边缘。
如果没有，它必须在MST中，除非任何后来的边缘到来 发挥并击败现有的。
通过这样做，您可以实现O（n）时间检查是否边缘在MST中。
答案 3 :(得分：0)
我会写下关于这个问题的任何想法
循环属性在这里非常重要：任何循环中的最大边缘都不能位于最小生成树中。
为了证明循环属性，假设存在包含边e的最小生成树T，边e是循环中最大的成本边。然后我们可以删除树T中的边e，我们得到两个集S和T.然后循环必须包含除连接集S和T的e之外的一些边。然后从cut属性，边e可以＆＃39; t在最小生成树中。
一旦我们获得了循环属性，我们就继续声明某些边e是否在最小生成树中：
当且仅当存在来自v和w的路径时，边e（v，w）才属于任何最小生成树，其中该路径上的每个边都小于e。
使用上述权利要求，算法如下：
删除大于e的所有边，现在我们有图G＆＃39;。运行DFS以检查是否在G＆＃39;中连接了v和w。如果v和w仍然连接，则边e不属于任何最小生成树。如果未连接v和w，则边e位于某个最小生成树中。