MST的线性时间算法

Question

我想知道当有少量权重时，是否有人可以指向线性时间算法来找到图的MST（即边缘只能有2个不同的权重）。

除了Prim's，Kruskal's，Boruvka之外，我在google上找不到任何东西，其中似乎没有任何属性会减少这种特殊情况下的运行时间。我猜测它是线性时间，它必须对BFS进行某种修改（当权重均匀时找到MST）。

Answer 1

Prim lg V运行时中O(V lg V)因子的原因是用于查找下一个候选边的堆。我非常确定可以设计一个优先级队列，在有可能的权重数量有限的情况下，在恒定时间内插入和删除，这会将Prim减少到O(V)。

对于优先级队列，我相信它足以满足一个数组，其索引涵盖所有可能的权重，其中每个元素指向包含具有该权重的元素的链表。你仍然有一个因子d（不同权重的数量），用于确定哪个列表可以获得下一个元素（＆＃34;最低＆＃34;非空元素），但如果d是常数，那么你就没事了。

Answer 2

阐述Aasmund Eldhuset的答案：如果MST中的权重被限制在0,1,2,3，...，U-1范围内的数字，那么你可以调整许多现有算法来运行（近）线性时间，如果U是常数。

例如，让我们采用Kruskal的算法。 Kruskal算法的第一步是将边缘按重量的升序排序。如果使用计数排序或时间O（m lg U），如果使用基数排序，则可以在时间O（m + U）中执行此操作。如果U是常数，则这两个排序步骤都需要线性时间。因此，在这种情况下运行Kruskal算法的运行时间为O（mα（m）），其中α（m）是逆Ackermann函数，因为限制因子将是维持不相交森林的运行时间

或者，看看Prim的算法。您需要维护到节点的候选距离的优先级队列。如果您知道所有边都在[0，U）范围内，那么您可以通过存储U桶数组（每个可能的优先级一个）以超级天真的方式执行此操作。插入优先级队列只需要将项目转储到正确的存储桶中。您可以通过逐出元素并将其移动到较低的存储桶来执行减少键。然后，您可以通过扫描存储桶来执行查找。这会导致算法运行时为O（m + nU），如果U是常数，则为线性。