Question

有人可以向我解释为什么使用相邻矩阵的Prim算法导致O(V²)的时间复杂度？

Answer 1

（对于看起来粗鄙的ASCII数学提前抱歉，我认为我们不能使用LaTEX来排版答案）

实现具有O(V^2)复杂度的Prim算法的传统方法是除了邻接矩阵之外还有一个数组，让我们称之为distance，它具有该顶点到节点的最小距离。 / p>

这样，我们只检查distance以查找下一个目标，因为我们执行此操作V次并且有distance的V成员，我们的复杂度为O(V^2)。< / p>

由于distance中的原始值很快就会过时，因此它本身就不够了。要更新此数组，我们所做的就是在每个步骤结束时，遍历我们的邻接矩阵并适当更新distance。这不会影响我们的时间复杂度，因为它仅意味着每个步骤都需要O(V+V) = O(2V) = O(V)。因此，我们的算法是O(V^2)。

在不使用distance的情况下，我们必须每次迭代所有E边，最坏的情况是包含V ^ 2边，这意味着我们的时间复杂度为O(V^3)。

证明：

要证明如果没有distance数组，则无法在O(V^2)时间内计算MST，请考虑在每次迭代时使用大小为n的树，有{{} 1}}可能会添加顶点。

要计算选择哪一个，我们必须检查每一个以找到它们与树的最小距离，然后将它们相互比较并找到最小值。

在最坏的情况下，每个节点都包含与树中每个节点的连接，从而产生n *（V-n）个边缘和V-n的复杂性。

由于n从1到V，我们的总数将是每个步骤的总和，我们的最终时间复杂度为：

O(n(V-n))

QED

Answer 2

注意：这个答案只是借用jozefg's answer并试图更充分地解释它，因为在我理解之前我必须先思考一下。

背景

图的邻接矩阵表示构造V x V矩阵（其中V是顶点的数量）。单元格（a，b）的值是连接顶点a和b的边的权重，如果没有边，则为零。

Adjacency Matrix

   A B C D E
--------------
A  0 1 0 3 2
B  1 0 0 0 2
C  0 0 0 4 3
D  3 0 4 0 1
E  2 2 3 1 0

Prim的算法是一种算法，它采用图形和起始节点，并在图形上找到最小生成树 - 也就是说，它找到边缘的子集，以便结果是包含所有节点的树，并且组合的边权重被最小化。可归纳如下：

将起始节点放在树中。
重复直到所有节点都在树中：
1. 查找将树中的节点连接到不在树中的节点的所有边。
2. 在这些边缘中，选择一个重量最小的边缘。
3. 将该边缘和连接的节点添加到树中。

分析

我们现在可以开始像这样分析算法：

在循环的每次迭代中，我们向树中添加一个节点。由于存在V个节点，因此该循环存在O（V）次迭代。
在循环的每次迭代中，我们需要在树中查找并测试边。如果有E个边缘，则天真的搜索实现使用O（E）来找到权重最小的边缘。
因此，在组合中，我们应该期望复杂度为O（VE），在最坏的情况下可能是O（V ^ 3）。

然而，jozefg给出了一个很好的答案，展示了如何实现O（V ^ 2）的复杂性。

Distance to Tree

            | A  B  C  D  E
            |----------------
Iteration 0 | 0  1* #  3  2
          1 | 0  0  #  3  2*
          2 | 0  0  4  1* 0
          3 | 0  0  3* 0  0
          4 | 0  0  0  0  0

NB. # = infinity (not connected to tree)
    * = minimum weight edge in this iteration

此处距离向量表示将每个节点连接到树的最小加权边，并按如下方式使用：

使用复杂度为O（V）的起始节点A初始化边缘权重。
要查找要添加的下一个节点，只需找到 distance 的最小元素（并将其从列表中删除）。这是O（V）。
添加新节点后，有O（V）个新边连接树到其余节点;对于这些中的每一个确定新边缘的重量是否小于现有距离。如果是，请更新距离向量。再次，O（V）。

使用这三个步骤可以缩短从O（E）到O（V）的搜索时间，并在每次迭代时添加额外的O（V）步骤来更新 distance 向量。由于每次迭代现在都是O（V），因此整体复杂度为O（V ^ 2）。

Answer 3

首先，它显然至少是O（V ^ 2），因为这是邻接矩阵的大小。

查看http://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm，您需要执行“重复直到Vnew = V”步骤V次。

在该步骤中，您需要计算V中任何顶点与V外的任何顶点之间的最短链接。维护一个大小为V的数组，保持每个顶点无穷大（如果顶点为V）或长度V中任何顶点与该顶点之间的最短链接及其长度（所以在开始时这只是起始顶点和每个其他顶点之间的链接长度）。要找到要添加到V的下一个顶点，只需按成本V搜索此数组。一旦有了新顶点，查看从该顶点到每个其他顶点的所有链接，看看它们中是否有任何链接从V到那个顶点。如果是，请更新阵列。这也花费了V。

所以你有V步（V顶点要添加）每个花费成本V，这给你O（V ^ 2）

Prim的MST算法的时间复杂度

3 个答案:

背景

分析