Prim的算法时间复杂度

Question

我正在查看Wikipedia entry的Prim算法，我注意到它的邻接矩阵的时间复杂度为O（V ^ 2），其堆和邻接列表的时间复杂度为O（E lg（ V））其中E是边数，V是图中顶点数。

由于Prim的算法用于密集图，E可以接近V ^ 2，但是当它接近时，堆的时间复杂度变为O（V ^ 2 lg（V）），大于O（V ^ 2） ）。显然，堆只会提高性能，而不仅仅是搜索数组，但时间复杂度则表示不然。

算法如何通过改进实际减速？

Answer 1

即使堆使您无法搜索数组，它也会减慢算法的“更新”部分：数组更新为O（1），而堆更新为O（log（N））。

从本质上讲，你在算法的一部分中交换速度以换取另一部分的速度。

无论如何，你都要搜索N次。 但是，在密集图中，您需要更新很多（~V ^ 2），而在稀疏图中，则不需要。

我头脑中的另一个例子是搜索数组中的元素。 如果你只做一次，线性搜索是最好的 - 但如果你做了很多查询，最好对它进行排序并每次都使用二进制搜索。

Answer 2

从算法导论（卡门）

时间=Θ（V）·T（EXTRACT-MIN）+Θ（E）·T（减少键）

                   T(EXTRACT-MIN)   T(DECREASE-KEY)   Total

1. array            O(V)             O(1)              O(V^2)
2. binary heap      O(lgV)           O(lgV)            O(E lgV)
3. Fibonacci heap   O(lgV)           O(1)              O(E + VlgV)

使用不同的数据结构会导致不同的时间复杂性。

Answer 3

我认为你在某种程度上读错了。 对于密集图，文章讨论了使用时间复杂度为O（E + V log V）的Fibonacci堆，这明显更好。