通过修改边缘更新最小生成树

Question

带有MST的图表（正权重边） 如果某个边缘，e被修改为新值，那么更新MST而不完全重建它的最佳方法是什么。我认为这可以在线性时间内完成。此外，似乎我需要一个不同的算法，基于1）e是否已经是MST的一部分，2）新边缘e是大于还是小于原始

Answer 1

有4个案例：

1. Edge在MST中，您减少了边缘值：
   目前的MST仍然是MST

2. 边缘不在MST中并且您减少了边缘值：
   将此边添加到MST。现在你已经完成了一个周期 根据MST中的cycle property，您需要查找并删除该周期中具有最高值的边。您可以使用dfs或bfs来完成。复杂性O（n）。

3. Edge在MST中，您增加了edge的值：
   从MST中删除此边缘。现在您有2个应连接的连接组件。您可以使用O（n）（bfs或dfs）计算两个组件。您需要找到连接这些组件的最小值的边。按其值按升序迭代边缘。复杂性O（n）。

4. Edge不在MST中，并且您增加了edge的值：
   目前的MST仍然是MST

Answer 2

我的O（n）解决方案基于以下假设：在开始修改边缘之前，您应该找到MST（图中没有给出）。为此，您可以使用在O（n log n）中工作的Kruskal算法，并且作为副作用生成有序的边列表。它的成本主要是排序，因此当你修改边缘的权重时，你可以从O（log n）中的排序列表中删除它，然后用新值插入它，也在O（log n）中，最后调用Kruskal再次算法，现在以线性时间运行，因为边是排序的。

这是您所要求的线性解决方案，但看起来可以更快地完成。