最小生成树

Question

我已经搜索了以下问题的答案：

给定是连通的非直接图G =（V，E），权重函数w：E-> R。

T1是G的最小生成树，权重为W1。

向图G添加权重为w（e）的新边（顶点连接G中的两个现有顶点）。

T2是更新图的最小生成树，权重为W2。

证明或反驳每一个陈述：

1. 如果W1 = W2，则边e处于一个循环中，该循环上每个边的权重最多为w（e）。

2. W2＆gt; = W1 - w（e）

3. 如果W2＆lt; W1，新边e处于循环状态，该周期上每个边的权重（e除外）大于w（e）。

Answer 1

首先，请注意以下事项：

由于G是连接图，因此在两个现有顶点之间添加边e将在G中创建一个循环。

陈述1：我们有W1 = W2。通过矛盾。假设G中有一个循环，其中e和边e'都有w(e') > w(e)。由于边e和e'都处于同一个循环中，因此我们可以删除其中一个并仍然获得生成树。如果我们删除e'，我们会得到W2 = W1 - w(e') + w(e)。自w(e') > w(e)以来，这意味着W2 < W1，这与前提相矛盾。因此，陈述是正确的。

声明3直接来自上述内容。

陈述2是错误的，因为我们可以给出一个反例。假设G = (V, E, w)的图V = {A, B, C}和E = {e1 = (A, B), e2 = (A, C)}的{​​{1}}和w(e1) = 10的边w(e2) = 11。 G是权重W1 = 21的最小生成树。现在添加权重e = (B, C)的边w(e) = 1。现在，最小生成树由边e1和e组成，权重为W2 = 11。将这些值插入等式W2 >= W1 -w(e)：11 >= 21 - 1，这显然不正确，从而为索赔提供了一个反例。