我正在阅读下一周修订课堂测试的书中的所有练习，我对这个子图问题感到很困惑。
目前我的想法让我相信，因为我们已经有了最小生成树G，因为我们在最小生成树中存在子节点，所以必须存在G'。就条件而言，我有点失落。
如果X'的节点和边集合，图X'是图X的子图 分别是X的节点和边集的子集。让我们拥有 （V，T）作为G的最小生成树，并且G'=（V'，E'）是连通的 G的子图。
（a）证明（V'，E'∩T）是G'的最小生成树的子图。
（b）在什么条件下（V'，E'∩T）G'的最小生成树？ 证明你的主张。
提前感谢！
答案 0 :(得分：3)
（a）
我真的不明白这个问题......你能解释一下吗？
（b）
我认为这是
如果e=(u,v)和T然后u in V' ，v in V'中的每个e in E
然后我们(V′,E′∩T)是G'的最小生成树。
Coz：
e e=(u,v) T u in V' v in V'而in E'而(V′,E′∩T)而非G'，那么(V′,E′∩T)
G'根本没有关联。它当然不能是G' Tg不是T'的生成树，则G的生成树成本较低，假设为T。我们可以构建e=(u,v) , u in V' and v in V' and e in T生成树T，其成本低于e=(u,v) , u in V' and v in V' and e in Tg，方法是：（i）从G中删除每个T（ii）添加每个T T。生成的图形是T的生成树（因为它在{{1}}的边数相同时连接）并且成本低于{{1}}。所以它永远不会发生，因为我们已经知道{{1}}是{{1}}的最小生成树。 答案 1 :(得分：3)
（a）正如我在评论中提到的（V'，E'∩T）可能包含多个组件。通常，G'的最小生成树将需要更多边。问题是在E'∩T中是否已经存在一些可能未被使用的边缘。因此，我们可以将这个问题重新定义为G'的最小生成树（V'，T'）的存在，使得E'∩T⊂T'。
这是一个使用Kruskal's algorithm的证据及其正确性证明。 Kruskal算法中按重量计算的边缘不是确定性的。虽然边缘按重量排序，但是在相同权重的边缘上的非确定性的枚举。然而，对于每个生成树，存在一些单调的边缘枚举，产生最小生成树（V，T）。设E_x为权重x的所有边的集合。对于排序，选择任何顺序，使得E_x∩T中的所有边都在E_x \ T中的那些边之前.E_x∩T中的任何边都没有形成Kruskal算法中检查它们的步骤中的循环，因为它们出现在最终的最小生成树。它们出现在什么顺序并不重要，因为顺序不会改变循环的不存在。然后，E_x \ T中的所有边都被丢弃，因为它们会形成循环，因为它们不会出现在T中。因此，边E的总是有一些排序产生最小的树（V，T）。
对于下一步，我们在G'上再次运行Kruskal算法，使用一个排序，它将产生我们给定的最小生成树G.调用此树（V'，T'）。这里的关键属性是，当我们这样做时，E'∩T中的所有边都被添加到任何其他边之前。相反，假设某些边缘t∈E'∩T将在G'上运行时被拒绝，因为它形成了一个周期。这意味着某些链C已经在两个组件之间形成了连接，当计算（V，T）时，边t是第一个连接的组件。如果是这样，同一个链将在原始运行中连接这些组件，而他们没有。现在考虑在将E_x∩T的边缘添加到正在进行的树中之后立即在G'上的Kruskal算法的状态。之后添加了Kruskal算法添加的任何内容，以便E_x∩T⊂T'。
（b）这部分主要是（a）部分的必然结果，即观察到边缘集E'∩T在Kruskal算法运行的某个点上始终是有效状态。因此，如果在该点完成算法，即，边缘集合耗尽，则E'∩T恰好是最小生成树的边缘。条件是算法在它处于这种状态时结束，因此当连接（V'，E'∩T）时，Kruskal算法终止并且（V'，E'∩T）是最小生成树。相反，如果（V'，E'∩T）是最小的生成树，那么它必然是连接的。
答案 2 :(得分：1)
部分'a'几乎立即跟随观察到最小生成树（例如(V,T)）确实是最小的！以下是证明的一部分草图：
假设(V′,E′∩T) 最小的矛盾。这意味着我们可以在保留其连接性的同时删除一些e in E′∩T。这意味着e也可以从T中移除，显然不能，因为T是最小的。
对于'b'部分，我认为lavin提供了一个不错的解决方案。希望这会有所帮助。
答案 3 :(得分：1)
我为不耐烦的人提供非正式的tl; dr版本:) eh9值得赏金
a - 存在一些由V'交叉形成的生成树，与v'可能具有的所有边相交。 E'∩T必然是这个
的一个子集b - 条件是连接（V'，E'∩T）时。 E'中的任何非最小边和周期都被与T的交点丢弃，任何剩余的最小连通图都是MST