Question

给出：

G = (V,E)
T is an MST of G
G'=(V', E') ⊆ G
T' is an MST of G'

证明：

(V',E∩T) is a subgraph of T'

Under what conditions is E∩T an MST of G'?

边缘权重不必不同。

我的方法：

通过将Kruskal算法应用于E∩T中的边，将以权重的升序连接边，同时确保连接不会产生循环。这样会产生 an MST，但是可以证明这个MST是T'的子图吗？

这种方法有意义吗？由于我没有使用T是G的MST的事实，因此我有一种直觉，就是我忽略了一些重要的东西。

Answer 1

第一个观察结果：节点数为|V'|且边数为|V'|-1以外的任何图都不是树，因此一个必要条件是：|E∩T| = |V'|-1

第二个观察结果：如果T'是G'的MST，则其边缘之和在G'的所有其他可能的生成树中最小。这意味着如果(V', E∩T)是G'的MST，则其边之和必须等于T'的边之和

根据上述观察，(V', E∩T)成为G'的MST的充要条件是：
1. |E∩T| = |V'|-1
2. sumofweigths((V', E∩T))=sumofweights(T')

因此，基本上您需要做的是计算E∩T中的边数并与|V'|-1比较，还计算T'中的边权重之和并与之比较E∩T

中的边权重之和

但是我对此行有些怀疑：(V',E∩T) is a subgraph of T'
由于T'也有V'个节点，因此T'本身之外的T'的任何子图都不会是树，如果不是树，则不可能是树。 MST。可能是(V',E∩T) is a subgraph of G'或(V',E∩T) is a subgraph of T，而不是(V',E∩T) is a subgraph of T'？

证明子图是最小生成树

1 个答案: