生成树的最小瓶颈与最小生成树有何不同？

Question

加权图 G 的最小瓶颈生成树是 G 的生成树，这样可以最小化生成树中任何边的最大权重。 MBST不一定是MST（最小生成树）。

请举例说明这些陈述是否有意义。

Answer 1

请查看MST example on Wikipedia以获取参考：

生成树中的瓶颈是该树中的最大权重边缘。在生成树中可能存在几个瓶颈（当然所有权重相同）。在维基百科MST中，有两个重量瓶颈8。

现在，取一个给定图形的最小生成树（可能有几个MST，当然都具有相同的总边缘权重）并调用最大边缘权重B.在我们的例子中B = 8.

任何具有B = 8瓶颈的生成树都是MBST。但它可能不是MST（因为总边缘重量大于最佳可能）。

所以，拿维基百科MST并修改它（添加/删除一些边缘）以便

1. 它仍然是生成树，
2. 它仍然没有使用任何重量＆gt; 8，但
3. 增加总边重

例如，只更改维基百科MST（由权重{2,2,3}组成）到{2,3,6}的“左侧”子树，从而将总边权重增加4而不更改8.宾果的瓶颈，你创造了一个不是MST的MBST。

Answer 2

在回答你的问题之前，让我来定义一下这里使用的一些术语......

1）生成树：给定图形的生成树是覆盖该图形中所有顶点的树。

2）最小生成树（MST）：给定图的MST是生成树，其长度在该图的所有可能生成树中最小。更清楚的是，对于给定的图表，列出所有可能的生成树（可能非常大）并选择边缘权重之和最小的那个。

3）最小瓶颈生成树（MBST）：给定图的MBST是生成树，其最大边缘权重在所有可能的生成树中最小。更清楚的是，对于给定的图形，列出所有可能的生成树和每个生成树的最大边缘权重。其中选择最大边缘权重最小的生成树。

现在让我们看一下四节点图的下图...

图-A是给定的原始图。如果我列出该图的所有可能的生成树并选择边权重之和最小的生成树，那么我将得到Graph-B。 因此Graph-B是最小生成树（MST）。请注意，它的总重量是1 + 2 + 3 = 6.

现在，如果我选择最大边缘权重最小的生成树（即MBST），那么我最终可能会选择Graph-B（或）Graph-C。请注意，这两个生成树都具有最大边缘权重3，这在所有可能的生成树中最小。

从Graph-B和Graph-C可以清楚地看出，即使Graph-C是MBST，它也不是MST。因为它的总重量是1 + 3 + 3 = 7，这大于图B中绘制的MST的总重量（即6）。

因此MBST不一定是给定图形的MST。但是MST必须是MBST。