证明子图是生成树

Question

  

设T和T'是连接图G的2个生成树。假设   弧x在T中但不在T'中。证明T'中存在弧y   这样（T- {x}）∪{y}和（T' - {y}）∪{x}是G中的生成树。

我有什么想法可以证明这一点？是否有正式的方法证明子图是生成树？

Answer 1

是和是。

通过证明：

，证明子图是生成树

1. 子图触及图中的所有节点;和
2. 子图是一棵树。
   • 任意两个节点之间只有一条路径。

由于T和T'都是生成树，因此您知道T或T'中的任意两个节点之间只有一条路径，并且{{1} }}和T触及T'中的每个节点。

如果您从G移除arc x，则会获得两棵树。我们称他们为T和T0。由于T1触及每个节点，因此T'中必须存在arc y，以便一个端点位于T'，另一个端点位于T0。

T1和arc x都是将arc y连接到T0的弧线。由于连接两棵树会生成一棵树，而T1和T0覆盖T1中的所有节点，G和(T-{x})∪{y}都是生成树。

正如您可能已经注意到的那样，我没有详细介绍实际的证据，只是给出了概述。你需要证明：

1. 从(T'-{y})∪{x}删除arc x会生成两棵树，T和T0，它们不共享任何节点，也没有弧线;
2. T1中必须存在arc y，T'与T0相关联;
3. 从T1移除arc y会生成两棵覆盖与T'和T0相同节点的树;和
4. 用弧线连接两棵树会产生一棵树。

加上其他一些小东西将它们粘合成一个连贯的答案，但这四件事是需要展示的核心项目。一旦你证明了这些事情，其他事情都很容易推断。

祝我好运做一件作业。