证明最小生成树的属性

Question

我需要你的帮助证明以下内容： G=(V,E)是一个无向连通图，边上有非负权重。 让T为G的MST，T'为G的生成树（不是最小值），因此它保留Weight(T') > Weight(T)。证明T'中最精彩边缘的权重不小于T中最重边缘的权重。

我不确定如何解决此问题，如果我们让e(u,v) - heaviest edge on T和e'(u',v') - heaviest edge on T'，然后如果我们查看由(u,u')定义的剪切，我们就可以使用Kruskal algorithem并显示e'未选择T或此方向的某些内容......

谢谢，

Answer 1

假设相反 - 存在加权无向图，其具有最小生成树T和生成树T'，使得T的最重边缘比T'的最重边缘重，即，T的最重边缘。比T'中的每个边缘重。考虑通过删除T的最重边缘h引起的切割。由于T'连接，T'中的一些边缘穿过该切口。如果我们将此边添加到T-h，我们会得到一个比T更轻的生成树，这是最小的生成树。矛盾。

Answer 2

我采取另一个方向。为简单起见，让所有边权重都不同，以便MST是唯一的。考虑MST中最重的边e，以及Kruskal算法构造此MST的方式。结果是最后添加的边是生成的MST中最重的边缘。

现在看一下添加最后一个边缘之前的情况。我们有一棵由两棵树组成的森林。正如我们使用Kruskal算法一样，目前没有比e更便宜的方法来连接这两棵树。因此，任何其他生成树中它们之间的任何边缘的权重至少与e一样大。

同等重量的边缘需要一些关心，或者可能是一个聪明的想法，才能得到妥善处理。