证明用于查找最小生成树的贪婪算法肯定会停止

Question

这是一种用于在连接中查找最小生成树的算法 联合国指导的图G =（V，E）：

1. 初始化：B =∅ - 将由算法构建的边缘组

2. while | B | ＆LT; | V | - 1做：

   一个。选择图形中的一些切割（S，V \ S），其中没有边缘e属于跨越它的B。

   湾找到最轻的边缘交叉点。

   ℃。将其添加到组B.
    B = B∪{e}。

3. 返回T =（V，B）

切割的含义在附图中描述： Cut's meaning 顶点s，u在一个组中，我们可以称之为S.

所有其他顶点都在V \ S组中。

所以这就是（S，V \ S）作为切割的意思。 另外 - 边缘（u，w）是交叉边
（u，v）是该特定切口中最轻的交叉边。 （s，u）不是“交叉”边缘

我需要证明算法最终会停止。那| B | = | V | - 1 在某些时候。

我可以在证明中使用以下说法：

'在算法的任何一点，都存在最小生成树T =（V，Et） 包含由算法选择的边B组的G。'

假设我已经证明了这一点，我需要以某种方式表明图中总有一些切口，他的交叉边缘都没有被添加到B中。 while | B |＆lt; | V | -1。 但我不知道该怎么做

Answer 1

此算法的任何部分都不能永远循环。步骤2循环的每次迭代都增加| B |由1. | B |将在| V | -1次迭代中达到| V | -1，此时循环终止。

如果您担心步骤2a不可能，则必须断开G的（V，B）子图，因为它没有足够的边连接。我们总是可以将一些连接组件放在切口的一侧，而另一侧放在另一侧。 （即使步骤2a在某些时候是不可能的，这听起来并不像非终止条件。）

Answer 2

让我们假设没有这样的切割和| B | ＆LT; | V | - 1.当树连接时，这意味着所有顶点都通过B中的某个边连接（因为如果没有连接顶点，将会有一个切口，其中没有边缘属于B，将该顶点和生成树分开）

As，| V |顶点至少需要| V | - 要连接1个边，我们推断| B | ＆gt; = | V | - 1，因此与我们的假设相矛盾。

因此证明了。