如果添加边，则更新最小生成树

Question

我对以下问题有可能的解决方案，但不确定是否正确：

假设我们已经为加权的无向图T找到了最小生成树G = (V,E)。我们希望能够有效地更新T G稍微改变一下。

将边添加到G以生成新图表。提供一个使用T的算法，在O(|V|)时间内为新图表找到最小生成树。

我的算法：

for each vertex do
   if smallest edge not in T then
      replace this edge with existing edge in T
      break
   end if
end for

我在编写伪代码方面没有太多经验，因此我的算法可能过度简化或不正确。如果我错了，请纠正我。谢谢！

Answer 1

不知道你的算法是否正确，但它至少看起来不是O(|V|)，因为得到的最小边缘不在T＆＃34;无法在O(1)中完成顶点。

将边e=(u, v)添加到MST T的最常用方法是：

• 在T中从u到v运行BFS，以检测该路径中具有最大值的边缘。 （O(|V|)）
• 如果该边缘的重量大于您尝试添加的边缘的重量，请移除旧边缘并添加新边缘。否则，什么都不做，因为新的边缘不会改善MST。 （O(1)）。

此解决方案背后的基本原理是，只需将边添加到T中就可以创建一个周期，并且要恢复MST属性，您必须从该周期中删除具有最大值的边。

Answer 2

是的，您的算法似乎是正确的。我会修改你的伪代码以澄清＆＃34;如果最小的事件边缘不在T中那么＆＃34;所以你的新算法是这样的：

for each vertex do
   if smallest incident edge not in T then
      replace this edge with existing edge in T
      break
   end if
end for

矛盾证明：

存在两种情况：新边缘在MST中或者它不是。对于以下情况：假设算法不替换T中的边。这必须意味着T中的所有边都小于入射在同一顶点上的其他边。这是一个矛盾，因为这意味着新的边缘不在T的MST中。

另一个案例的证据是一个相互矛盾的类似证据。