Question

以下是用于计算m和n的最大公约数的欧几里得算法的迭代实现。

while (m != n) 

    { 

        if (m > n) 

            m = m - n; 

        else

            n = n - m; 

    }

以上代码的时间复杂度是多少？

Answer 1

由于我们可以选择m> 1且n = 1，因此最坏的情况至少在n + m中是线性的（因此输入大小呈指数关系），因此该算法可以准确地确定正好m时GCD（m，n）= 1 -1次迭代。这意味着最坏的情况是Omega（m + n）= Omega（2 ^ k），其中k是输入编码中的位数。

最坏的情况最多是m + n线性的（因此输入大小是指数的），因为在每一步中m或n至少减少了1（假设n，m> 0）。因此，循环最多可以迭代m + n次（实际上，它永远不会迭代多次，但是肯定不会迭代更多）。这意味着最坏的情况是O（m + n）= O（2 ^ k），其中k是输入编码中的位数。

因此，最坏的情况是m + n正好是线性的，也就是说，输入k的大小呈指数：它是Theta（m + n）= Theta（2 ^ k）。

当采用数字作为输入的算法的运行时在输入值上是多项式，但在输入编码大小（例如二进制）方面是指数级的，则该算法称为伪多项式时间。

Answer 2

这里，输入分别是大小为n和m的数字log2(n)和log2(m)。时间复杂度表示为输入大小的函数。
通常，欧几里得算法的时间复杂度在输入大小上是线性的（例如，检查this answer），但是使用此实现，您将拥有指数级的最坏情况运行时。

假设n>m和m=1。这意味着代码如下：

while (m != n) 
    { 
        n = n - m; 
    }

在最坏的情况下，迭代次数等于n，即输入大小的指数倍。