欧几里德GCD算法的运行时间？

Question

我正在尝试通过阅读CLR算法书来学习RSA密码学的数论。我正在看练习31.2-5，声称1 + log _Φ（b / gcd（a，b））的界限。

完整的问题是：

如果是＆gt; b> = 0，表明调用EUCLID(a,b)最多生成1 + log _Φ b递归调用。将此限制改为1 + log _Φ（b / gcd（a，b））。

有谁知道如何展示这个？欧几里德的算法在这个网站上已经有其他几个问题和答案，但是它们似乎都没有这个确切的答案。

Answer 1

请参阅Donald Knuth对Euclid算法的分析， TAOCP Vol.2 p.356

Answer 2

这就是我解决第一部分的方法。我还在继续第二次

我们知道Euclid算法的运行时是所涉及步骤数的函数（本书的第pg页） 设k是所需的递归步数。     因此，b> = F k + 1> =φk-1     b> =φk-1 记录找到我们的k     Logφb> = k-1      1 +Logφb> = k 因此运行时间为O（1 +Logφb）

Answer 3

1. 如果Euclid(a,b)步数超过N，则显示 a>=F(n+1)和b>=F(n)，其中F(i)是i斐波那契 数。
   这可以通过Induction轻松完成。

2. 再次显示F(n)≥φ ^n-1     诱导。

3. 使用步骤1和2的结果，我们有b≥F(n)≥     φ ^n-1
   以两侧的对数为准，     log _φb≥n-1。
   
   因此证明，n≤1+     日志<子>φ B'/ p>

第二部分通常如下 EUCLID(ka,kb)中的递归调用次数与EUCLID(a,b)中的递归调用次数相同，其中k是一个整数。

因此，边界被改进为1 + log _φ（b / gcd（a，b））。