Question

我对欧几里德算法找到最大公约数有疑问。

gcd（p，q）其中p> q和q是n位整数。

我试图对算法进行时间复杂度分析（输入如上所述为n位）

gcd(p,q)
    if (p == q)
       return q
    if (p < q)
       gcd(q,p)
    while (q != 0)
       temp = p % q
       p = q
       q = temp
    return p

我已经明白，u + v和u代表v和p的初始值的两个数字q的总和减少了系数至少为1/2。

现在让m为此算法的迭代次数。我们希望找到m

这样的最小整数(1/2)^m(u + v) <= 1

这是我的问题。我得到每次迭代中两个数字的总和是(1/2)^m(p + q)的上限。但是，当这个数量为m时，我真的不明白为什么达到最大<= 1。

对于n位q，答案是O（n），但这就是我被卡住的地方。

请帮助!!

Answer 1

想象一下，我们有p和q，其中p> Q值。现在，有两种情况：

1）p＆gt; = 2 * q：在这种情况下，p将在mod之后减少到小于q的值，因此总和将至多为之前的2/3。

2）q＆lt; p＆lt; 2 * q：在这种情况下，mod操作就像从p中减去q一样，所以总和最多也是之前的2/3。

因此，在每一步中，这笔金额将是最后一笔金额的2/3。由于你的数字是n位，所以总和的大小是2 ^ {n + 1};因此，对于log 2 ^ {n + 1}（基本3/2）步，实际上是O（n），总和将为0.

欧几里德的算法时间复杂度

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