抽抽引语的语言规律性

Question

将字符串解释为Z ≥0中的二进制数字（可能带有前导零，这里没有模运算）。 {0, 1}上的以下语言是正常的 {xyz : |x| = |y| = |z| and x + y = z}？

我想证明这种语言的不规则性，我应该应用抽引引数，并证明没有可能的设置可以满足抽引引理的所有三个条件。

Answer 1

请考虑长度为3p + 3的字符串（0 ^ p）1（0 ^ p）1（0 ^ p-1）10。这是该语言中的字符串，因为选择| x | = | y | = | z |表示x =（0 ^ p）1，y =（0 ^ p）1和z =（0 ^ p-1）10以及1 +1 =10。现在，抽引引理说这可以写成第一个：

• | rs | <= p
• | s | > 0
• r（s ^ k）t是所有自然数k的语言

请注意，在我们的情况下，s必须完全由分量x的前导0组成。假设我们选择k =0。有几种情况需要考虑：

• | rt |不能被3整除。在这种情况下，因为条件| x | = | y | = | z |无法满足。
• 如果| rt |被3整除，请考虑我们新的x，y和z：我们删除了3m开头的0。这意味着| x | = | y | = | z | = p + 1-m。原来x末尾的1将在新字符串中左移（m-1）个位置； y末尾的1最初将在新字符串中左移（m-2）个位置；而z末尾的1将保留在z的倒数第二个位置。
  1. 如果m = 1，则y将不再包含任何1，因此无法满足x + y + z
  2. 如果m> 1，则x表示大于或等于10的数字，y表示正数。但是，大于或等于10的数字与正（非零）数字的总和不能等于10。因此，此处也不能满足x + y + z。

因此，对于m = | s |没有选择。这样，选择k = 0就能得到该语言的r（s ^ k）t。这是一个矛盾，因此我们隐含的假设，即该语言为常规语言必须是错误的。