Question

我试图弄清楚这个数据结构，但是我不明白我们怎么能知道有O（log（n））个子树代表查询的答案吗？

这里是一张图片供说明：

谢谢！

Answer 1

如果我们假设上面的内容是purely functional binary tree [wiki]，那么在节点不可变的情况下，我们可以对这棵树进行“复制”，以便只有值大于 x的元素在树中₁ 并低于 x ₂ 。

让我们从一个非常简单的案例开始说明这一点。想象一下，我们根本没有任何界限，而只是可以返回整个树。因此，我们无需构建 new 树，而是返回对树根的引用。因此，只要不对树进行编辑（至少只要不使用子树，就可以），我们就可以在 O（1）中无限制地返回树。

以上情况当然很简单。我们只需对整个树进行“复制”（由于数据是不可变的，因此并不是真正的复制，我们可以只返回树）。因此，让我们着眼于解决一个更复杂的问题：我们要构建一棵包含所有大于阈值 x ₁ 的元素的树。基本上，我们可以为此定义一个递归算法：

None（或代表空引用或对空树的引用）的剪切版本为None；
如果节点的值小于阈值，则返回右侧子树的“剪切”版本；和
如果节点的值大于阈值，我们将返回一个具有相同右子树的inode，并且作为左子子节点的是左子子节点的切割版本。

所以在伪代码中它看起来像：

def treelarger(some_node, min):
    if some_tree is None:
        return None
    if some_node.value > min:
        return Node(treelarger(some_node.left, min), some_node.value, some_node.right)
    else:
        return treelarger(some_node.right, min)

该算法因此以树的高度在 O（h）中运行，因为对于每种情况（除了第一种情况），我们递归到一个（不是两个），并且如果我们有一个没有孩子的节点（或者至少在我们需要剪切子树的方向上没有子树）的情况下结束。

因此，我们不制作树的完整副本。我们重用旧树中的许多节点。我们仅构造一个新的“表面”，但是大部分“体积”是旧的二叉树的一部分。尽管树本身包含 O（n）个节点，但我们最多只能构建 O（h）个新节点。我们可以优化上述内容，以使给定子树之一的分割版本相同，而不会创建新节点。但这在时间复杂度方面甚至没有多大关系：我们最多生成 O（h）个新节点，并且节点总数小于原始数目，或者相同。 / p>

如果是完整的树，则树的高度 h 随 O（log n）缩放，因此该算法将在 O（登录n）。

那么我们如何生成一个元素在两个阈值之间的树？我们可以轻松地将以上内容重写为算法treesmaller，该算法会生成包含所有较小元素的子树：

def treesmaller(some_node, max):
    if some_tree is None:
        return None
    if some_node.value < min:
        return Node(some_node.left, some_node.value, treesmaller(some_node.right, max))
    else:
        return treesmaller(some_node.left, max)

因此大致来说有两个区别：

我们将条件从some_node.value > min更改为some_node.value < max；和
如果条件成立，我们对right子级子递归，如果条件不成立，则向左递归。

现在我们从以前的算法得出的结论也是可以应用于该算法的结论，因为它再次仅引入了 O（h）个新节点，并且节点总数只能减少。

尽管我们可以构造同时考虑两个阈值的算法，但是我们可以简单地重用以上算法来构造仅包含范围内元素的子树：我们首先将树传递给{ {1}}函数，然后通过treelarger获得结果（反之亦然）。

由于在这两种算法中，我们都引入了 O（h）新节点，并且树的高度不能增加，因此我们最多构造了 O（2 h），因此是 O（h）个新节点。

鉴于原始树是一棵 complete 树，因此它认为我们创建了 O（log n）新节点。

Answer 2

考虑搜索范围的两个端点。该搜索将继续进行，直到找到跨越您的间隔的两个叶节点中最低的公共祖先。此时，搜索分支，其中一部分向左移动，而另一部分向右移动。现在，让我们只关注查询的左边分支部分，因为逻辑是相同的，但是对于右边分支却是相反的。

在此搜索中，有助于将每个节点视为不是代表单个点，而是代表一系列点。然后，一般过程如下：

如果查询范围完全包含此节点表示的范围，请停止在x中搜索并开始搜索此节点的y子树。
如果查询范围仅在此节点的右侧子树所表示的范围内，请继续在右侧进行x搜索，而不要研究y子树。
如果查询范围与左子树的范围重叠，则它必须完全包含右子树的范围。因此，请处理右侧子树的y子树，然后递归地探索左侧的x子树。

在所有情况下，我们最多考虑一个y子树，然后递归地继续仅在一个方向上探索x子树。这意味着我们实质上是在x-tree下方找到一条路径，每步最多添加一个y-subtree。由于树的高度为O（log n），因此以这种方式访问的y子树的总数为O（log n）。然后，在我们从右上分支的情况下，包括访问的y子树的数量，我们将得到另一个O（log n）子树，以搜索总共O（log n）个子树。

希望这会有所帮助！

为什么从范围树查询中获得的子树数为O（log（n））？

2 个答案: