范围查询O（lg N）中的反转次数

Question

给定n个整数的未排序数组，我知道我可以按照这种方法在O（N lg N）中找到使用BIT的反转总数：Count Inversion by BIT

但是，如果我必须查询O（lg N）中反转总数的任意范围，是否可能？

O（N lg N）预计算是可以接受的。

我做了一些研究，似乎N因素是不可避免的...... 任何建议，将不胜感激！

Answer 1

这不是您正在寻找的答案，但我有两个建议。

首先，我认为BIT不是用于解决问题的正确数据结构。 BIT的优点是它每次插入仅使用O（lg n）维护O（lg n）可查询前缀和。由于您在数据结构完成后没有插入，因此BIT不是有利的（因为您可以使用简单的前缀和数组，可以在O（1）中查询）。

其次，我有一个天真的算法，它使用O（n ² ）时间和空间构建一个可以在O（1）时间内找到范围反转的数据结构：

首先，构造一个映射反转的（n X n）矩阵，以便仅mat[i][j]=1和i<j和arr[i]被反转时才arr[j]。然后，计算此矩阵每行的前缀和，以便mat[i][j]是arr[i]范围内涉及[i,j]的反转次数。最后，计算每列的后缀总和，以便mat[i][j]是[i,j]范围内的反转总数。

for i from 0 to n-2
  for j from i+1 to n-1
    if(arr[j] > arr[i])
      mat[i][j] = 1;
for i from 0 to n-2
  for j from i+1 to n-1
    mat[i][j] += mat[i][j-1];
for j from n-1 to 1
  for i from j-1 to 0
    mat[i][j] += mat[i+1][j];

这显然需要O（n ² ）时间和空间，但可以在恒定时间内查询任何范围内的反转次数。