Question

我已经阅读了一些关于两个常见数据结构的教程，这些结构可以在O（lg N）中实现范围更新和查询：Segment tree和Binary Indexed Tree（BIT / Fenwick树）。

我发现的大多数例子都是关于某些关联和交换操作，如＆＃34;范围内的整数和＆＃34;，＆＃34;范围内的XOR整数＆＃34;等等。

我想知道这两个数据结构（或任何其他数据结构/算法，请提出）是否可以在O（lg N）中实现以下查询？（如果不是，O（sqrt N）怎么样）

给定一个整数A的数组，查询范围[l，r]

中的不同整数的数量

PS：假设可用整数的数量是~10 ^ 5，那么used[color] = true或位掩码是不可能的

例如：A = [1,2,3,2,4,3,1]，query（[2,5]）= 3，其中范围索引从0开始。

Answer 1

是的，即使您应该在线回答查询，也可以在O（log n）中执行此操作。但是，这需要一些相当复杂的技术。

首先，让我们解决以下问题：给定一个数组，回答形式＆＃34的查询;索引[l，r]＆＃34;中有多少个数＆lt; = x？这是通过一种类似于树的结构来完成的，有时也称为合并排序树。它基本上是一个分段树，其中每个节点存储一个已排序的子阵列。这种结构需要O（n log n）内存（因为有log n层，每个都需要存储n个数字）。它也是用O（n log n）构建的：你只需要自下而上，并为每个内部顶点合并其子项的排序列表。

这是一个例子。假设1 5 2 6 8 4 7 1是原始数组。

|1 1 2 4 5 6 7 8|
|1 2 5 6|1 4 7 8|
|1 5|2 6|4 8|1 7|
|1|5|2|6|8|4|7|1|

现在，您可以在O（log ^ 2 n时间）内回答这些查询：只需对段树进行重新查询（遍历O（log n）节点）并进行二进制搜索以了解有多少数字＆lt; = x存在于该节点中（此处附加O（log n））。

这可以使用Fractional Cascading技术加速到O（log n），这基本上允许您不在每个节点中进行二进制搜索，而只在根中进行。然而，它很复杂，无法在帖子中描述。

现在我们回到原来的问题。假设你有一个数组a_1，...，a_n。构建另一个数组b_1，...，b_n，其中b_i =数组中下一次出现a_i的索引，如果是最后一次出现，则为∞。

示例（1索引）：

a = 1 3 1 2 2 1 4 1
b = 3 ∞ 6 5 ∞ 8 ∞ ∞

现在让我们计算[l，r]中的数字。对于每个唯一的数字，我们将计算它在该段中的最后一次出现。使用b_i概念，您可以看到，当且仅当b_i > r时，数字的出现才是最后的。所以问题归结为＆＃34;有多少个＆gt; r在段[l，r]和＃34;这可以简单地简化为我上面描述的内容。

希望它有所帮助。

Answer 2

给定的问题也可以使用Mo（离线）算法（也称为平方根分解算法）来解决。

总体时间复杂度为O（N * SQRT（N））。

有关详细说明，请参阅mos-algorithm，它甚至可以通过此方法解决复杂性分析和SPOJ问题。

Answer 3

有一种众所周知的离线方法可以解决此问题。如果您有n个大小数组并在每个查询上有q个查询，则需要知道该范围内的不同数的计数，那么您就可以用O（n log n + q log n）时间复杂度来解决整个问题。这类似于解决O（log n）时间中的每个查询。

让我们使用RSQ（范围和查询）技术解决问题。对于RSQ技术，可以使用段树或BIT。让我们讨论分段树技术。

要解决此问题，您需要离线技术和段树。现在，什么是离线技术？离线技术是在做离线的事情。解决问题的一种脱机方法示例是，首先输入所有查询，然后对它们进行重新排序，这是一种使您可以正确，轻松地回答它们并最终以给定的输入顺序输出答案的方法。

解决方案：

首先，接受测试用例的输入并将给定的n个数字存储在数组中。令数组名称为array []并接受输入q个查询并将其存储在向量v中，其中v的每个元素都包含三个字段l，r，idx。其中，l是查询的起点，r是查询的终点，idx是查询的数量。像这样的第n个查询。现在根据查询的端点对向量v进行排序。让我们有一个段树，它可以存储至少10 ^ 5个元素的信息。并且我们还有一个叫last [100005]的区域。它将数字的最后位置存储在array []中。

最初，树的所有元素为零，最后一个树的所有元素为-1。现在在array []上运行一个循环。现在进入循环，您必须检查array []的每个索引的内容。

last [array [i]]是否为-1？如果为-1，则编写last [array [i]] = i并调用update（）函数，该函数将在段树的last [array [i]]位上添加+1。如果last [array [i]]不为-1，则调用段树的update（）函数，该函数将在段树的last [array [i]]位中减去1或加-1。现在，您需要将当前位置存储为将来的最后位置。因此您需要编写last [array [i]] = i并调用update（）函数，该函数将在段树的last [array [i]]位上添加+1。

现在，您必须检查查询是否在当前索引中完成。那就是if（v [current] .r == i）。如果为true，则调用段树的query（）函数，该函数将返回范围v [current] .l与之和的总和，并将结果存储在v [current] .idx ^的索引中answer []数组。您还需要将current的值增加1。 6.现在，按指定的输入顺序打印包含最终答案的answer []数组。

算法的复杂度为O（n log n）。

Answer 4

kd-trees在O（logn）中提供范围查询，其中n是点数。

如果您想要比kd树更快的查询，并且您愿意支付内存费用，那么Range trees是您的朋友，提供以下查询：

O（log ^d n + k）

其中n是树中存储的点数，d是每个点的维数，k是给定查询报告的点数。

_{Bentley是这个领域的重要名称。 :)}

Answer 5

如果您愿意离线回答查询，那么普通的旧“段树/ BIT”仍然可以提供帮助。

基于r值对查询进行排序。
为范围和查询[0，n]制作细分树
对于输入数组中从左到右的每个值：
1. 在段树中的当前索引i处增加1。
2. 对于当前元素，如果以前已经看到过，则递减1 in
  段树在其先前位置。
3. 通过查询范围为[l，r == i]的和来回答以当前索引i结尾的查询。

简而言之，该方法是保持标记向右的索引，每个元素的最新出现以及将先前出现的位置设置回0。范围的总和将给出唯一元素的计数。

总体时间复杂度将为nLogn。

是否可以查询O（lg N）范围内不同整数的数量？

5 个答案: