简单的大O与lg（n）证明

Question

我试图猜测并证明Big O：

f（n）= n ^ 3 - 7n ^ 2 + nlg（n）+ 10

我猜大O是n ^ 3，因为它是具有最大增长顺序的术语

然而，我无法证明这一点。我的不成功的尝试如下：

f(n) <= cg(n)
f(n) <= n^3 - 7n^2 + nlg(n) + 10 <= cn^3 
f(n) <= n^3 + (n^3)*lg(n) + 10n^3 <= cn^3
f(n) <= N^3(11 + lg(n)) <= cn^3

so 11 + lg(n) = c

但这不可能是正确的，因为c必须是常数。我做错了什么？

Answer 1

对于任何基础 b ，我们知道始终存在n0 > 0，

每当log(n)/log(b) < n

时，

n >= n0

因此，

n^3 - 7n^2 + nlg(n) + 10＆lt; n^3 - 7n^2 + n^2 + 10时的n >= n0。

你可以从那里解决。

Answer 2

对于你的问题，O（n ^ 3）的证明看起来应该是这样的：

f(n) <= n^3 + 7n^2 + nlg(n) + 10 for (n > 0)
f(n) <= n^3 + 7n^3 + nlg(n) + 10 for (n > 1)
f(n) <= n^3 + 7n^3 + n*n^2 + 10  for (n > 2)
f(n) <= n^3 + 7n^3 + n^3 + 10  for (n > 2)
f(n) <= n^3 + 7n^3 + n^3 + n^3 for (n > 3)
f(n) <= 10n^3 for (n > 3)

因此，对于n> 0，f（n）是O（n ^ 3）。 3和k = 10.