我试图了解Big O符号到底是什么。通过在SO中回答类似问题的答案，我在字面和实践意义上理解它。但是答案没有解释，我不理解的是它背后的数学基础。 正式定义指出
A function T(n) is the Big-O notation of f(n), if and only if there exist two constants c, n0 > 0 such that
T(n) <= c * f(n) for all n >= n0.
我在某种程度上直观地理解这个方程试图用某个函数计算上界，这个函数在某种意义上具有更高的斜率，在函数f（n）的更高端。我知道我的理解是模糊的。那么有人可以解释Big-O表示法的数学基础/表示。
答案 0 :(得分：2)
首先我要说的是，如果 g（n）是 n 的函数，那么 O（g（n））是所有函数的集合 f（n）使得存在常数c，N> 0，使得对于所有n＆gt; = N，f（n）＆lt; = cg（n） /强>
如果分析一个算法完全，那么就会出现一个输入大小为 n 的函数，比如 f（n），这可能是 n 中的一些复杂烦人的多项式表达式（或涉及指数的复杂表达式）。
例如，有人可能会发现，给定输入大小 n 的算法具有 f（n）= 2n ^ 2 + 3n + 1 指令。 但我们并不关心 3n + 1 部分。如果 n 变得非常大，则 f 的 n ^ 2 项将支配低阶项。例如，对于 n = 100 ，我们已经发现 2 * 100 ^ 2 比 3 * 100 + 1 更重要。< / p>
所以，为了使这个想法更加严谨，我们想说“ f（n）在最坏的情况下增长，就像n ^ 2”。在数学符号中： f（n）是O（n ^ 2）的元素。现在你在问题中已经说过，要真正证明f（n）是O（n ^ 2）的元素，我们需要找到常数c和N，这样对于所有n＆gt; = N我们都有f（ n）＆lt; = cn ^ 2。因此，如果我们尝试c = 3，那么我们得到不等式f（n）＆lt; = 3 * n ^ 2，并且如果你以代数方式玩，那么你会发现对于所有n＆gt; = 5这都成立。所以我们的c = 3，我们的N = 5。实际上，f（n）在最坏的情况下会像n ^ 2一样增长。
请注意，“最糟糕的是”。说“f（n）像......一样增长”，而不是我们说“ f（n）在最坏的情况下增长...”。< / p>
再举一个例子，再考虑我们的 f（n）= 2n ^ 2 + 3n + 1 。我的主张是 f（n）不是O（n）的元素。为了实际证明这是真的，我们需要表明，对于所有c，N> 0，存在n> = N，使得f（n）> 0。 CN。那么，f（n）>当且仅当2n ^ 2 +（3-c）n + 1> 1时，cn为真。 0，对于足够大的n> = N（无论N是多少）都是如此，我将让你详细说明。这表明 f（n）的增长率高于线性增长率。
我们的 f（n）= 2n ^ 2 + 3n + 1 的另一个例子：可以证明f（n）是O（n ^ 3）的元素。我们这样做，好吗？我们需要找到c，N> 0，使得对于所有n> = N，f（n）<= cn ^ 3。好吧，试试c = 1;然后在一些代数之后，你会发现N = 4是正确的。这保证了“f（n）在最坏的情况下成长......就像......”的情绪;如果你能证明你的函数f在某个大O中，那么可能会有一个“更好的大O”，它就是它的一部分。
作为最后一个练习，显示O（1）是O（n）的正确的子集，它是O（n ^ 2）的正确的子集，这是O（n ^ 3）的正确的子集，它是O（n ^ 4）的正确的子集，...
答案 1 :(得分：1)
g（n）= O（f（n））表示在某个n之后（对于n> n0）g（n）/ f（n）<= M（固定量） 例如，对于n0 = 2，g（n）= n是O（n）和O（n * log（n））：
n / n = 1 <= 1 = M
n /（n * log（n））＆lt; = 1 / log（2）= M