我怎样才能证明一个困难的大符号？

Question

我很容易理解如何证明一个简单的大符号，如n ⁵ + 3n ³ ∈O（n ⁵ ）。< / p>

但是我如何证明更复杂的东西，如3 ⁿ 或2 ⁿ ∉O（n ^k ）？

Answer 1

使用矛盾的证明。

让我们证明2 ⁿ ∉O（n ² ）。我们假设相反，并从结果中推断出矛盾。

所以：假设：存在M和n ₀ ，使得2 ⁿ ＆lt;对于所有n> = n ₀ ，M n ² 。

令x为数字，使得x> 5，和x> n ₀ 和2 ^x ＆gt; 4 M.你是否同意这样的数字必须存在？

通过推断基于2 ^2x ＆lt;的不等式的矛盾来完成证明。假设为4 M x ² 。

现在为k = 3做类似的证明。然后对k = 4进行。然后将所有k的结果推广。