为什么用分段树时间复杂度求解范围最小查询是O（Log n）？

Question

我试图解决如何在给定数组和两个索引中找到O（Log（n））中这两个索引之间的最小值。 我看到使用分段树的解决方案，但无法理解为什么这个解决方案的时间复杂度是O（Logn），因为它看起来不是这样的，因为如果你的范围不完全在nod的范围内，你需要开始分割搜索范围。

Answer 1

第一个证据

声称是在每个级别最多扩展2个节点。我们将通过矛盾证明这一点。

考虑下面给出的细分树。

让我们说这棵树中有3个节点被扩展。这意味着范围是从最左边的彩色节点到最右边的彩色节点。但是请注意，如果范围扩展到最右边的节点，则将覆盖中间节点的整个范围。因此，此节点将立即返回该值，并且不会扩展。因此，我们证明在每个级别上，我们最多可以扩展2个节点，并且由于存在logn级别，因此扩展的节点为2⋅logn=Θ（logn）。

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第二证明：

查询间隔（x，y）有四种情况

FIND(R,x,y) //R is the node
% Case 1
    if R.first = x and R.last = y   
        return {R}
% Case 2
    if y <= R.middle
        return FIND(R.leftChild, x, y) 
% Case 3
    if x >= R.middle + 1 
        return FIND(R.rightChild, x, y) 
% Case 4
    P = FIND(R.leftChild, x, R.middle)
    Q = FIND(R.rightChild, R.middle + 1, y)    
    return P union Q.

直观地，前三种情况将树的高度降低1，因为树的高度为log n，如果仅发生前三种情况，则运行时间为O（log n）。

对于最后一种情况，FIND（）将问题分为两个子问题。但是，我们断言，这种情况最多只能发生一次。调用FIND（R.leftChild，x，R.middle）之后，我们将查询R.leftChild的间隔[x，R.middle]。 R.middle与R.leftChild.last相同。如果x> R.leftChild.middle，则为案例1；如果x <= R.leftChild，那么我们将调用

FIND ( R.leftChild.leftChild, x, R.leftChild.middle );
FIND ( R.leftChild.rightChild, R.leftChild.middle + 1, , R.leftChild.last );

但是，第二个FIND（）返回R.leftChild.rightChild.sum，因此花费的时间是恒定的，并且该问题不会分为两个子问题（严格来说，问题是分开的，尽管一个子问题为O（1 ）解决的时间。

由于对R的rightChild进行了相同的分析，因此我们得出结论，在case4首次发生之后，运行时间T（h）（h是树的剩余层）将为

T(h) <= T(h-1) + c (c is a constant)
T(1) = c

产生：

T(h) <= c * h = O(h) = O(log n) (since h is the height of the tree)

因此，我们结束证明。

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