为什么时间复杂度为O（log n）？

Question

int algorithm(int n) {
    int k = 0;
    while(n>1) {
       n=n/2;  // integer division
       k++;
    }
    return k;
}

时间复杂度为O(log n)？为什么呢？

Answer 1

如果您将n写为二进制数，例如11011011，则在循环退出之前所需的连续值为

11011011
 1101101
  110110
   11011
    1101
     110
      11
       1

因此，迭代次数（k的最终值）等于n的初始位数。从

2^(k-1) ≤ n < 2^k

这是具有k位的条件，你绘制

k-1 ≤ log2(n) < k.

Answer 2

原因是循环，除法和加法中的操作是O（1）。现在，考虑一些m的n = 2 ^ m的迭代次数，并将此数字与log_2（n）进行比较。推广到n，这不是2的幂是很容易的。通过i（n）表示输入n的循环的迭代次数，并且取2 ^ m <1。 n＆lt; 2 ^（m + 1），注意i（n）= i（2 ^ m）（谢谢，整数除法）。

Answer 3

您反复将 n 除以2，直到达到1或更低。因此，您的停止条件（大致）由等式 n / 2 ^ k = 1 ＆lt; =＆gt;表示。 n = 2 ^ k ＆lt; =＆gt; log_2 n = k（/是代码中的整数除法）。允许粗糙度，因为我们正在处理 O（），并且常量将会消失。