为什么需要Bellman Ford算法中的（节点编号-1）迭代才能找到最短路径？

Question

图像：4次迭代，（a）是原始图。 （b），（c），（d），（e）对应于每次迭代后的结果。示例来自＆＃34;算法简介3＆＃34;

您好， 我不太了解该算法的几个方面。我希望有人可以提供帮助。以下是我的问题。

在每次迭代中，就我而言，所有边缘都是放松的。我期望在第一次迭代中所有节点都更新距离。那么为什么在第一次迭代（b）中，只更新节点t和y的距离，而另一个仍然无穷大？

另一个问题是，为什么需要（节点号-1）迭代，其中所有边都放松了？保证在每次迭代时实现什么，以便算法必须在（节点编号-1）时间运行，以确保只要没有负权重循环就能找到最短路径？

Answer 1

在第一次迭代中仅更新d[y]和d[t]的原因是这两个顶点是唯一可以改善与s的距离估计的顶点。更准确地说，为了在特定迭代中更新d[v]，必须有(u,v)边d[u]+w(u,v)<d[v]。s。也就是说，我们必须能够改进从v到d[v]的距离估算，以便更新d[u]=inf。在第一次迭代中，u的值为每个顶点s（v除外）。因此，如果s不是u的邻居，则s不是d[u]+w(u,v)，因此inf+w(u,v)=inf的值等于d[v]。这意味着我们无法改进对s的估算。这就是为什么只有n-1的邻居在第一次迭代中被更新的原因，即使算法遍历图的所有边缘。

至于我们需要i次迭代的原因，在d[u]次迭代后实现了以下两个保证：

1. 如果inf不是d[u]，则存在从s到u的长度为s的路径。
2. 如果从u到i的路径最多有d[u]条边，则s最多是u的最短路径长度} i最多s个边缘。

从u到n-1的最短路径的边数不能超过i（假设没有负周期）。因此，两个保证（可以通过n-1上的归纳证明）意味着在s次迭代之后，如果有一条从u到{{的特定长度的简单路径1}}，算法找到它。

Answer 2

纯粹的归纳证明令人信服，但很难获得。由于缺少示例，我看到的大多数答案都不容易获得。

我认为，如果您具有一些归纳基础知识，那么proof of correctness就足够简单了。再一次，理解它的正确性并不意味着您就很容易理解为什么->因为在最短路径中最多有（N-1）个节点，所以我必须循环（N-1）次？

获得归纳后，我认为最重要的一点是，每个循环中的BF处理不能保证边的特定顺序：您可以按任何顺序处理边，但仍然可以达到正确的在N-1次循环后回答。。

现在有一个非常简单的案例可以帮助您理解：

结论：（所附示例中的部分）。另外，在最坏的情况下，当您有一条最短路径的长度为（N-1），并且每个第i个循环时，您仅在最短路径中放宽了源节点之后的第i个节点，您将需要（N-1）个循环。在我们的示例中，在情况2中，对于节点3，第一个循环仅设法放松了节点2，它是P（1,3）上源之后的第一个节点，因此您需要另一个循环来放松。