单个源顶点的最轻路径数

Question

假设我有一个带有正或负权重的定向加权图（没有零或负加权循环）。 该图是Bellman-Ford分析的，意味着每个顶点保存从源顶点到它的最轻路径的数据，以及它在最轻路径中的前身。 存储从源到每个顶点的不同最短路径数量的最有效方法是什么？ 如果可能的话，我愿意在线性时间 - O（V + E）。

Answer 1

如果没有负边，你可以非常有效地完成它。

将节点v的最短路径表示为D(v)

按距离对顶点进行排序 - O（VlogV）

表示P(v) - 从源到v的路径数。
现在，您可以使用DP来解决这种关系（从头到尾）：

P(source) = 1
P(v) = sum { P(u) | (u,v) is an edge and D(u) + w(u,v) = D(v) }

算法的复杂性为O(VlogV + E)

正确性证明：通过归纳（指南）：
源的Base子句，有一条路径（空路径）。 我们假设P（v）对于每个v是正确的，D(v) < D(u)。

对于以u结尾的每条最短路径，它必须经过其中一个顶点D(v) < D(u)。给定最短路径source->...->v->u，路径将计入P(v)。此外，它不计入任何其他P(v')，因此在sum { P(u) | (u,v) is an edge and D(u) + w(u,v) = D(v) }中只计算一次。
另外，对于任何非最短路径的路径，从归纳假设来看，它不计入v D(v)<D(u)，因此必须在最后一步生成路径，但限制(u,v) is an edge and D(u) + w(u,v) = D(v)阻止它，所以我们不计算任何非最短路径。
的 QED