大合并的复杂性排序

Question

我有一个关于合并排序的大喔的演讲，我很困惑。

显示的是：

0合并[＆lt; ----- n --------＆gt;] = n

1合并[＆lt; - n / 2 - ] [ - n / 2 ---＆gt;] =（n / 2 + n / 2）= n

2合并[n / 4] [n / 4] [n / 4] [n / 4] = 2（n / 4 + n / 4）= n

....

log（n） merges = n

总=（n + n + n + ... + n）= lg n = O（n log n）

我不明白为什么（n + n + ... + n）也可以表示为n的对数基数2以及它们如何得到2次合并= 2（n / 4 + n / 4）

Answer 1

在1合并的情况下，您需要对两个子数组进行排序，其中每个子数组将花费与 n / 2 成比例的时间进行排序。从这个意义上讲，要对这两个子阵列进行排序，您需要一个与 n 成比例的时间。

类似地，当您进行2次合并时，有4个子阵列要进行排序，其中每个子阵列的时间与 n / 4 成正比，这将再次总结为 n < /强>

同样，如果您有 n 合并，则需要与 n 成比例的时间来对所有子数组进行排序。从这个意义上说，我们可以将合并排序所花费的时间写成如下。

  

T（n）= 2 * T（n / 2）+ n

你会理解这个递归调用可以深入（比如 h 的高度）直到n/(2^h) = 1。通过在此处记录，我们得到 h = log（n）。这就是log（n）来到场景的方式。此处日志取自基地2。

由于您有 log（n）步骤，其中每个步骤的时间与 n 成比例，因此总时间可以表示为，

  

n * log（n）

在大O符号中，我们将其作为上限O(nlog(n))。希望你明白了。

下面的递归树图片将进一步启发你。

Answer 2

在您的问题中写下以下部分的最后一行，

  

0合并[＆lt; ----- n --------＆gt;] = n

     

1合并[＆lt; - n / 2 - ] [ - n / 2 ---＆gt;] =（n / 2 + n / 2）= n

     

2合并[n / 4] [n / 4] [n / 4] [n / 4] = 2（n / 4 + n / 4）= n

     

...

     

n merges = n - 这行不正确！

错了。您将不会有n个大小为n的合并，但Log n合并大小为n。

在每个级别，您将问题大小划分为两个大小一半的问题。当你继续潜水时，你可以做的总分是Log n。 （怎么样？假设可能的总分为x。那么n = 2 ^x 或x = Log ₂ n。）

因为在每个级别你都做了O（n）的总工作，所以对于Log n级别，所有完成的工作的总和将是O（n Log n）。

Answer 3

你的树有一个深度的log（n）和n的宽度。 ：）

Answer 4

日志部分的结果是“在我只剩下一个元素之前，我可以将数据分成两部分？”这是递归树的深度。 n的倍数来自这样一个事实：对于树中的每个级别，您将在该级别的所有合并步骤之后查看数据集中的每个元素。

recurse downwards:
    n unsorted elements
  [n/2][n/2] split until singletons...
  ...
merge n elements at each step when recursing back up
  [][][]...[][][]
  [ ] ... [ ]
  ...
  [n/2][n/2]
  n sorted elements

Answer 5

这非常简单。如您所示，每次合并都需要O（n）。您需要执行的合并数是log n（基数2），因为每个合并都会使排序部分的大小加倍。