大哦，定义的后果

Question

我花了很多时间在这里和math.stackexchange上阅读关于Big-Oh的问题和答案，似乎这是最好的地方，因为math.stackexchange似乎不喜欢这类问题。所以我在我的CS课程上获得了一些关于uni的课程，但我并不完全理解它，并且希望你们可以提供帮助。我理解“家庭作业”的问题在这里略显皱眉，所以我选择了另一个例子不我的课程作业，但是类似的风格。

所以这是我在笔记中给出的定义：

我给出的问题是：

使用定义2.5表明，如果f（n）是O（g（n）），那么k + f（n）也是O（g（n））。

我花了3天的时间在网上搜索这些问题的任何答案。从定义2.5可以看出，f（n）是O（g（n）），k + f（n）是O（g（n））。这对我来说已经足够了，但似乎我必须证明这是如何产生的。我一开始认为它应该通过归纳以某种方式完成，但从那时起就决定反对，并且必须有一种更简单的方法。

任何帮助将不胜感激。我不指望有人直截了当地给我答案。我更倾向于使用方法论或参考我可以学习这种技术的方法。我可以再次提醒你，这是不我的实际课程，但是类似风格的问题。

先谢谢。

Answer 1

假设f（n）是O（g（n））
然后存在c和k's.t.对于所有n＆gt; k'：f（n）＆lt; = cg（n）
现在考虑f（n）+ k
对于大于k'的所有n，令d为s.t k <= d * g（n） 你知道这是可能的，因为k在O（1）
中 然后
f（n）+ k <= cg（n）+ dg（n）=（d + c）（g（n））
然后使用定义并用d + c代替c，==＆gt; f + k在O（g）

中

Answer 2

f（n）＆lt; = cg（n）

k + f（n）＆lt; = c'g（n） 其中c'= ck

所以k + f（n）是O（g（n））

Answer 3

然后k为O(1)，f(n)为O(g(n))，那么您可以对这些值求和，然后O(1+g(n))这是O(g(n));

f(n)为O(g(n))，k + f(n)也为O(g(n))，因为您已在书中写过

  

忽略添加常量

始终忽略常量，因为无法更改 Big-O 表示法，O(1)表示法中任何常量都为Big-O。

Answer 4

对于它的价值，这是一个有点人为的大O符号的定义。更一般的，在我看来，更直观的定义是，对于某些有限实数f(n) ~ O(g(n))，n->a为lim|f(n)/g(n)| <= A iff n->a为A。

重要的是要求限制上下文。在CS中，该限制被隐式地视为无穷大（因为这是问题大小增加时n倾向于的），但原则上它可以是任何东西。例如，sin(x) ~ O(x)为x->0（事实上，它与x完全渐近;这是小角度近似值。）