我正在为我的Java III课阅读一本教科书。我们正在阅读关于Big-Oh的内容，我对其正式定义感到有些困惑。
形式定义：“函数f（n）最多为g（n） - 即f（n）= O（g（n）） - 如果存在正实数c和正整数N这样，对于所有n> = N，f（n）＆lt; = cg（n）。即，当n足够大时，cg（n）是f（n）的上限。“
好的，这是有道理的。但请继续阅读......这本书给了我这个例子：
“在第9.14段，我们说过 使用5n + 3操作的算法 是O（n）。我们现在可以证明5n + 3 = O（n）使用正式定义 大哦。
当n> = 3时，5n + 3 <= 5n + n = 6n。 因此，如果我们让f（n）= 5n + 3，则g（n）= n，c = 6，N = 3，我们已经证明了这一点 f（n）＆lt; = 6g（n），n> = 3，或5n + 3 = 上）。也就是说，如果算法 要求时间与...成正比 5n + 3，它是O（n）。“
好的，这对我来说很有意义。 他们说如果n = 3或更大，5n + 3比n小于3所花费的时间少 - 因此5n + n = 6n - 对吗？有道理，因为如果n是2 ，5n + 3 = 13而6n = 12但是当n为3或更大时，5n + 3总是小于或等于6n。
这是我感到困惑的地方。他们给了我另一个例子：
示例2：“让我们看一下4n ^ 2 + 50n - 10 = O（n ^ 2）。很容易看出：4n ^ 2 + 50n-10 <= 4n ^ 2 + 50n 任何n。因为n
50n≤= 50n ^ 2对于n> = 50，= 50,4n ^ 2 + 50n-10 <= 4n ^ 2 + 50n ^ 2 = 54n ^ 2.因此，在c = 54且N = 50的情况下，我们已经示出了4n ^ 2 + 50n - 10 = O（n ^ 2）。“
这句话没有意义：对于n> = 50，50n＆lt; = 50n ^ 2。
是不是要让50n小于50n ^ 2？不只是大于或等于50？为什么他们甚至提到50n <= 50n ^ 2？这与问题有什么关系？
此外，无论n是多少，对于n> = 50，4n ^ 2 + 50n-10≤4n^ 2 + 50n ^ 2 = 54n ^ 2都是正确的。
世界上拣选数字如何显示f（n）= O（g（n））？
答案 0 :(得分：5)
请记住，当n足够大时，你正在寻找“f（n）的上限。”因此，如果对于n大于N的值，可以证明f（n）小于或等于某个c g（n），这意味着c g（n）是上限因此，f（n）和f（n）的复杂度为O（g（n））。
给出的例子旨在表明，对于任何n> 1，给定函数f（n）永远不会超过c * g（n）。 N.通过操纵初始上界使得它可以更简单地表达（如果4n ^ 2 + 50n是f（n）的上界那么则是4n ^ 2 + 50n ^ 2，其等于54n ^ 2，作为你的54 * g（n），其中c = 54和g（n）= n ^ 2），作者可以证明f（n）以c * g（n）为界，其复杂度为O（g（ n））因此f（n）也是如此。
答案 1 :(得分：2)
50n <= 50n^2 for n >= 50
因为如果n是50，那么50n与n ^ 2相同，因为50 * 50等于50 ^ 2。
将n^2替换为50n我们得到
n^2 <= 50n^2 for n >= 50
这很明显。
答案 2 :(得分：2)
关于挑选数字的全部内容就是：为了让它变得更容易。因为你可以为N和c选择你想要的任何数字，所以作者只选择了一些最容易看到的东西。这也是你也可以做的（写考试时等）。
因此虽然通常可以使用较小的N，但推理会变得有点困难（通常需要一些先前的分析知识 - 我们几年前都学过，x不会像x ^ 2 ......但是你想写下分析证明吗？）
保持简单，是消息:-)一开始习惯这个有点奇怪。
答案 3 :(得分：0)
对于n> = 50，他们说50n≤50n^ 2的原因可能是如果n小于1，则n ^ 2 我可以看出为什么说n> = 50的50n＆lt; = 50n ^ 2可能看起来有点傻了。但它仍然是真的。该书并未说50n＆lt; = 50n ^ 2仅适用于n> = 50;这将是错误的。 作为一个类比，如果我说“我所有的兄弟姐妹都说英语”，即使有很多说英语的人不是我的兄弟姐妹，也是如此。 关于证据，我们可能将其分成不同的陈述。 应该清楚的是，这些陈述中的每一个都是真的，要么是单独的（1,2,3），要么是前面陈述的结果。 (1): 4n^2 + 50n - 10 <= 4n^2 + 50n (for all n)
(2): 4n^2 + 50n <= 4n^2 + 50n^2 (for all n>=50)
(3): 4n^2 + 50n^2 = 54 n^2 (for all n, including all n>=50)
(4): Therefore, 4n^2 + 50n - 10 <= 54n^2 for all n>=50
(5): Therefore, for f(n)=4n^2 + 50n - 10, g(n)=n^2, N=50, and c=54,
the statement f(n) <= c g(n) for all n >= N is true
(6): Therefore, by definition 4n^2 + 50n - 10=O(n^2).
答案 4 :(得分：0)
正式定义：
正如您所注意到的那样略有不同：）