如何合并排序有多个大值？

Question

在What exactly does big Ө notation represent?中，最受欢迎的答案包含以下声明：

  

例如，合并排序最差情况是O(n*log(n))和Omega(n*log(n)) - 因此也是Ө(n*log(n))，但它也是O(n^2)，因为n^2是渐近的＆＃34;更大＆＃34;比它。但是，它不 Ө(n^2)，因为算法不是Omega(n^2)。

我有两个问题：

1. 您如何确定最坏的情况是O(n*log(n))和Omega(n*log(n))。在＆＃34;算法导论＆＃34;通过计算每个语句的执行次数和成本来确定插入排序的Theta时间。 O和Omega是否有类似的方法？
2. 如何合并排序的最差情况为O(n*log(n))，还有O(n^2)？

Answer 1

首先，您问题中的链接并未指出已接受的答案。它指出了最受欢迎的答案。

现在，逐一回答你的问题......

  

如何确定最坏的情况是O（nLog（n））和Ω（nLog（n））。在“算法简介”中，您可以通过计算每个语句的执行次数和执行成本来确定插入排序的Theta时间。 O和Omega有类似的方法吗？

为了让这个答案对每个人都有用，我再次提到与Merge Sort相关的重点。

• 合并排序是一种分而治之的算法。
• 你接受一系列数字，你递归地将它分成两半，你分别对这两半进行排序，然后再次递归地合并这两半，从而产生一个排序的数字序列。

采取最简单的案例。如果在该案例中运行合并排序，您会触摸多少个元素 ^† ？借助下图可以轻松实现可视化。每个级别触及的元素是 cn ，总共有 lg n 级别。因此，即使在最简单的情况下，触及的总元素是 cnLog（n）。

^{Image Source}

因此，合并排序总是具有最小复杂度≈cnLog（n），并且也写为 合并排序为Ω（nLog（ n））的

确定。因此我们理解即使在最简单的算法运行中，我们也必须触摸序列的元素总共 cnLog（n）次。现在......

我们多少次触摸序列的元素？那么，无论如何，Merge Sort的递归树将与上面的完全相同。因此，事实证明，我们将始终将Merge Sort的运行时复杂度与 nLog（n）成比例！这意味着Merge Sort的上限和下限都是 cnLog（n）。

因此， Merge Sort的运行时复杂度不仅是Ω（nLog（n））而且是O（nLog（n）） ，这意味着它是 Ө（n日志（N））。

_{您希望看到（也就是能够可视化）为Merge Sort完成的计算。我希望显示在树的每个级别完成的计算的图形说明是令人满意的。}

  

如何合并排序的最坏情况是O（n * log（n））而且O（n ^ 2）？

这很简单，但就像之前的回答一样，我将从基本定义开始，以便答案对每个人都有用。

我喜欢下面的图片来理解这些术语。

^{Image Source}

注意Big-O只强调上面的限制。它并没有打扰到多远。因此，算法具有无限的功能，因为它具有Big-O复杂性。其中最具信息性的是上面的那个，否则每个算法都是O（ infinity ）。

现在定义清楚，我们可以很容易地说Merge Sort是O（nLog（n））以及O（n ² ）。

^† _{在这个解释中，“触摸”一词等同于你在问题中写的“计数次数”。在算法运行期间，每次遇到一个数字时 - 我们都说这个数字被触及了。因此，我们有效地计算数字的触摸来确定算法的复杂性。}

Answer 2

回答第二个问题：

当我们说var group1 = new BsonDocument { { "_id", new BsonDocument{{"ManufacturerId", "$ManufacturerId"},{"DATA_MONTH", "$DATA_MONTH"} }}, { "Count", new BsonDocument { { "$sum", $Count } } } }; var group2 = new BsonDocument { { "_id", "$_id.ManufacturerId" }, { "Statistics ", new BsonDocument { { "$addToSet",new BsonDocument{{"Month", "$_id.DATA_MONTH"},{"Count","$Count"} } } }}, }; var result = database.GetCollection<BsonDocument>("Manufacturers").Aggregate() .Group(group1) .Group(group2) .ToList(); ＆＃39;合并排序时这相当于说＆＃39; merge sort具有与最多 O(x)＆＃39;成比例的渐近运行时行为。换句话说：x代表上限。请注意，这与最坏情况和最佳情况无关。您也可以为最佳情况提供上限。

总结：算法可以同时拥有O(x)，O(n log n)等，就像数字3同时小于5和10一样。

回答第一个问题：

theta的大多数证明实际上由两个单独的证明组成 - 一个用于下界O(n^2)，另一个用于上界Omega(x)。下限度量应用于问题：您说明问题不能在O(x)（渐近）中解决。这通常需要一个不同于上限的证明策略，在那里你证明给定的算法实际上会解决问题并且不会超过x给出的时间（渐近）。

Answer 3

  

如何合并排序的最差情况为O(n*log(n))，还有O(n^2)？

因为符号 f(n) = O(g(n))表示f(n)渐近小于或等于g(n)。或许误导性较小的符号可能是f(n) <= O(g(n))。由于n ^ 2渐近大于或等于n * log n，因此上述不等式成立。

关于你的第一个问题：确定平均运行时间通常比确定最坏情况的上限更棘手，更复杂。无论如何，here's a nice explanation I've found for you。