最小生成树的全对最短路径

Question

我正在尝试解决关于图的算法挑战，我已设法将其分解为以下内容：给定无向生成树，找到2个叶子，使得它们之间的成本最小。

现在我知道Floyd Warshall算法可以找到具有时间复杂度O（N ^ 3）和空间复杂度O（N ^ 2）的所有对最短路径。问题的输入是N = 10 ^ 5，因此O（N ^ 3）和O（N ^ 2）太多。

有没有办法优化此问题的空间和时间复杂度？

Answer 1

正如@Codor所说，详细说明，在MST中，任何一对节点只有一条唯一的路径，同样也是最短的路径。 为了计算所有对的最短路径b / w。 您可以选择遵循此算法。

• 您基本上可以通过不断删除叶节点来选择找到MST的根，直到只剩下一个或两个节点。

  复杂性：centre node in a tree            这可以用O（V）即线性时间

来实现

• 选择其中一个作为root。使用Breadth First Search（BFS）计算所有其他节点相对于根节点的距离。

  复杂性：在树的情况下O（V + E）~O（V）

• 现在你可以找到距离b / w任何一对节点称之为a，b。找到它的least common ancestor（lcp）。 然后有两种情况，如果

  1. lcp（a，b）= r（树的根）。 dis（a，b）= dis [a] + dis [b]
  2. lcp（a，b）= c（不是根节点） dis（a，b）= dis [a] + dis [b] - 2 * dis [c]

其中dis（x，y）=距离b / w节点x，y 和dis [x]节点x与根节点的距离   如果使用Ranked Union Find

实施

复杂度：O（h），其中h是每对（a，b）树的高度。 h = X / 2，其中X是树的diameter。 总复杂性取决于否。叶节点对。