最小生成树和最短路径树是否始终共享至少一条边？

Question

我正在研究图论，我对最小生成树和最短路径树之间的联系有疑问。

让 G 成为无向连通图，其中所有边都按加权，费用不同。设 T 为 G 的MST，让 T _s 为某个节点的最短路径树>取值即可。 T 和 T _s 是否保证至少共享一条优势？

我相信这并非总是如此，但我找不到反例。有没有人建议如何找到反例？

Answer 1

我认为这个陈述实际上是 true ，所以我怀疑你能找到一个反例。

这是一个提示 - 获取图中的任何节点并找到该节点的最短路径树。现在考虑如果从该节点开始运行Prim's algorithm会发生什么 - 你能保证MST中至少有一条边可以进入最短路径树吗？

希望这有帮助！

Answer 2

证明到顶点 s 及其最短路径树 T _s ，MST中的楔形 T 是w（ s ， v ），并假设它不存在于 T _{s 。然后必须有一条从 v 到 s 的较短路径，并且路径中有一个顶点（因为w（ s ， v ）不是最短路径），假设 p ，并且 s - > p - ＆gt; v ，w（ s ， v ）＆gt; =路径（ s - ＆gt; p < /强> - ＆GT;的 v ）。删除w（ s ， v ）并在 T中添加w（ s ， p ），当所有边缘都是正面且不同时，w（ s ， p ）＆lt; w（ s ， v ）。我们得到的最小生成树 T '。}

但 T 是一个MST。这是矛盾。假设不成立，这证明 T 和 T _s 必须共享至少一个边缘，并且它是w（ s ， v ）在MST T 。

如果有0成本的重量，情况是相似的。您可以假设w（a，b）= 0的两个顶点是相同的顶点，并删除其中一个顶点。 当权重为非负数时，证明有效。

当某些权重为负且w（ s ， p ）＆gt; w（ s ， v ），即w（ p ， v ）＆lt; 0，w（ s ， v ）＆gt; =路径（ s - ＆gt; p - ＆gt; v < / strong>）不能使w（ s ， p ）＆lt; w（ s ， v ）。但在MST T ，w（ s ， v ）也应该不存在，因为路径（ s - ＆gt; p - ＆gt; v ）使 s 以 v 成本更低，用W替换w中的w（ s ， v ）（ s ，< strong> p ）和w（ p ， v ）如果需要，可以减少最小生成树 T '。仍然矛盾。