Question

这是一个消费税：

要么证明以下内容，要么给出一个反例：

（a）最小生成树中一对顶点之间的路径   无向图的必然是最短（最小权重）路径？

（b）假设图的最小生成树是唯一的。是   最小生成树中一对顶点之间的路径   无向图必然是最短（最小权重）路径？

我的回答是

（a）中

不，例如，对于图0,1,2,0-1是4,1-2是2,2-0是5，那么0-2的真正最短路径是5，但是mst是0- 1-2，在mst中，0-2是6

（b）中

我的问题进入了这个（b）。

我不明白whether the MST is unique如何影响最短路径。

首先，我的理解是，当边的权重不明显时，可能同时存在多个MST，对吗？

其次，即使MST是唯一的，上述（a）的答案仍然适用于（b），对吧？

Answer 1

让我们来看一个非常简单的图表：

(A)---2----(B)----2---(C)
 \                    /
  ---------3----------

此图表的最小生成树由两条边A-B和B-C组成。没有其他边缘形成最小生成树。

但当然，从A到C的最短路径是A-C，在MST中不存在。

修改

所以回答（b）部分答案是否定的，因为存在一条不在MST中的较短路径。

Answer 2

关于（a），我同意。

关于（b），对于某些图表，可能存在具有相同权重的更多最小生成树。考虑具有顶点a，b，c的圆C3;权重a-> b = 1，b-> c = 2，a-> c = 2。该图有两个MST，{a-b-c}和{c-a-b}。

然而，你的反例仍然存在，因为MST在那里是独一无二的。

Answer 3

MST与起始节点不相关吗？！
然后他试图从MST起始节点获得最短路径。因此，是的，最短路径是由A开始的MST给出的！

Answer 4

AD a）

一个非常简单的可视化效果是：

图表中的

MSP：

我猜想MSP的唯一性意味着图中只有1个MSP MSP。所以：首先）是，如果边缘的权重不同，则可能同时存在多个MST。在我们的图表中，另一个可能的MSP将包括弧D-C而不是A-B（作为示例）。第二）MST的唯一性不会影响a）的答案。举个例子：