最小生成树和周期

Question

最小生成树是否有周期，如果生成周期的边的加权成本 0 ？由于这不会改变重量，它仍然可以被认为是最小生成树？

Answer 1

可以通过适当考虑MST的定义来回答此问题。根据定义，树不包含循环。因此，即使以零加权边创建的循环也不能成为树的一部分。我们可以删除这个零加权边缘，使其再次成为一棵树。但是，要使其成为MST，我们必须删除循环中一部分的最高权重边（请注意，我假设您的问题的前提假设是使跨度图不是最小且不是树是循环）。

您提到了最小跨度图的概念（MSG-这不是真正的缩写，因为出于解释的原因，这实际上不是问题）。这并不是一个真正有用的概念，因为在每种情况下，除了权重为零的边缘以外，MST都是MSG。只需移除一个边缘即可断开所有树的连接。因此，它们没有多余的边缘-因此添加另一条边缘以使其成为图形只会增加权重。零权重的边缘是个例外-添加它不会增加任何权重。从理论上讲，您可以向MST添加任意数量的零加权边以生成任意数量的MSG。但是，由于以下两个原因，这不是一个非常有趣的属性：

1. MST始终是任何MSG的子图，因此几乎可以对MST进行任何分析-更少的复杂度，因为边缘更少。
2. 基本上没有现实世界的情况可以通过以0加权边有意义的图表来建模。在高速公路系统中，每个路段都有一定的长度。在每个电路中，每条导线都有一定的电阻。即使您为这些示例中的任何一个发现了零权重边缘（例如电阻为0欧姆的导线，抛开了此类物体的物理可能性），您仍将需要MST，因为零权重边缘的货币成本肯定是非零的。