Question

我遇到了一个复发问题。

T（n）= T（n / 2）+ log N

我现在所拥有的是：

T（N）= T（N / 2）+ log N

T（N / 2）= T（N / 4）+ log（N / 2）

...

T（N）= T（N / 2 ^ k）+ sum [i = 0且k {log（N / 2 ^ i）}]

我坚持下一步该做什么。请给我一些建议。

谢谢！

Answer 1

另一种方法是使用Master Theorem（或Wikipedia）。对于大多数复发，它是适用的，并且提供了非常快的答案。

它基本上给你三个类别，然后答案就会消失。给定形式T（n）= aT（n / b）+ f（n）的重现，我们寻找a，b和f（n）。在您的情况下，我们有a = 1，b = 2，f（n）= log n。

因此（你必须看看引用的链接）我们属于案例2，其中f（n）在Theta（n ^（log_b（a-eps））log ^ k（n））= Theta（n ^ 0 log（n）），然后主定理表明T（n）在Theta（n ^（log_b（a-eps））log ^（k + 1）（n））= Theta（log ^ 2（ n））的

Answer 2

 T(1) = c                         (= c + 0)
 T(2) = T(1) +  log(2)             = c + 1
 T(4) = T(2) +  log(4) = c + 1 + 2 = c + 3
 T(8) = T(4) +  log(8) = c + 3 + 3 = c + 6
T(16) = T(8) + log(16) = c + 6 + 4 = c + 10
...

n | T(n)  | T(n) - T(n-1)
--+---------------------
 1| c +  0| -
 2| c +  1| 1
 4| c +  3| 2
 8| c +  6| 3
16| c + 10| 4

T(n) = c + (log n)(1 + log n) / 2 = O(log^2 n)

另一种看待同样事物的方法：

n = 2^m
S(m) = T(2^m) = T(2^m / 2) + log(2^m) = S(m - 1) + m
m | S(m)
--+-----
0 | c
1 | c + 1
2 | c + 1 + 2 = c + 3
3 | c + 3 + 3 = c + 6
4 | c + 6 + 4 = c + 10
...
S(m) = c + m(m + 1) / 2
T(2^m) = c + m(m + 1) / 2
T(n) = c + (log n)(1 + log n) / 2 = O(log^2 n)

重现：T（n）= T（n / 2）+ log N.

2 个答案: