在log * n时间内找到联合查找算法的根

Question

我知道使用平衡树方法进行联合查找的基本方法，并且它声明有一种方法可以在log * n方法中查找节点的根，根查找过程的代码是（直接从文章）：

int root (int Arr[ ] ,int i)
{
   while(Arr[ i ] != i)
   {
       Arr[ i ] = Arr[ Arr[ i ] ] ; 
       i = Arr[ i ]; 
   }
   return i;
}

此处Arr[j]存储节点j的父节点，我们需要找到节点i的根，假设已经创建了树。但我无法证明其log*n时间的复杂性。当我们遍历所有元素时，我们会检查祖父项，因此它的O(logn /2)时间复杂度与O(log n)相同，但文章指出其O(log* n)，出了什么问题？

Answer 1

引用的log *时间范围是union-find implementation的摊销运行时间，具有逐个联合和路径压缩，因此它仅适用于平均足够多的操作。它实际上可以改进为逆Ackermann，它甚至小于log *。如您所见，每个操作的最坏情况时间是Theta（log n）。