Question

我这里有一个简短的程序：

Given any n:
i = 0;
while (i < n) {
   k = 2;
   while (k < n) {
        sum += a[j] * b[k]
        k = k * k;
   }
   i++;
}

这的渐近运行时间是O（n log log n）。为什么会这样？我知道整个程序至少会运行n次。但我不知道如何找到日志日志n。内循环取决于k * k，所以它显然小于n。如果每次都是k / 2那么它就是n log n。但是你怎么能找到答案是log log n？

Answer 1

对于数学证明，内循环可以写成：

T(n) = T(sqrt(n)) + 1

w.l.o.g assume 2 ^ 2 ^ (t-1)<= n <= 2 ^ (2 ^ t)=>
we know  2^2^t = 2^2^(t-1) * 2^2^(t-1)
T(2^2^t) = T(2^2^(t-1)) + 1=T(2^2^(t-2)) + 2 =....= T(2^2^0) + t =>
T(2^2^(t-1)) <= T(n) <= T(2^2^t) = T(2^2^0) + log log 2^2^t = O(1) + loglogn

==> O(1) + (loglogn) - 1 <= T(n) <= O(1) + loglog(n) => T(n) = Teta(loglogn).

然后总时间为O（n loglogn）。

为什么内环是T（n）= T（sqrt（n））+1？ 首先看内部循环中断，当k> n时，表示k之前至少为sqrt（n），或者在最多为sqrt（n）之前的两个级别，因此运行时间为T（sqrt（n）） +2≥T（n）≥T（sqrt（n））+ 1。

Answer 2

如果循环变量以指数方式减少/增加恒定量，则循环的时间复杂度为O（log log n）。如果将循环变量除以/乘以常量，则复杂度为O（Logn）。

例如：在你的情况下，k的值如下。让括号中的i表示循环执行的次数。

 2 (0) , 2^2 (1), 2^4 (2), 2^8 (3), 2^16(4), 2^32 (5) , 2^ 64 (6) ...... till n (k) is reached. 
The value of k here will be O(log log n) which is the number of times the loop has executed.

为了假设，我们假设n是2^64。现在log (2^64) = 64和log 64 = log (2^6) = 6.因此，当6为n时，您的计划已运行2^64次。

Answer 3

我认为如果代码是这样，应该是n * log n;

i = 0;
while (i < n) {
    k = 2;
    while (k < n) {
        sum += a[j] * b[k]
        k *= c;// c is a constant bigger than 1 and less than k;
    }
i++;
}

O（n log log n）时间复杂度

3 个答案: