为什么执行n个联合查找（按大小合并）操作的复杂度O（n log n）时间？

Question

在基于树的联合查找操作的实现中，每个元素都存储在一个节点中，该节点包含一个指向集合名称的指针。集指针指向v的节点v也是集名称。每个集合都是一棵树，该树以具有自引用集合指针的节点为根。 要执行合并，我们只需使一棵树的根指向另一棵树的根即可。为了执行查找，我们从起始节点开始跟踪集合名称指针，直到到达其集合名称指针返回指向其自身的节点为止。

在按大小的联合中->执行联合时，我们将较小的树作为根 指向更大的根。这意味着O（n log n）时间为 执行n个联合查找操作。每次跟随指针时，我们都会转到一个子树，该子树的大小最多是前一个子树的大小的两倍。因此，对于任何查找，我们最多将遵循O（log n）指针。

我不了解每个联合操作的方式，查找操作始终为O（log n）。有人可以解释一下如何计算最坏情况下的复杂度吗？

Answer 1

我们需要证明树的最大高度为log（N），其中N是UF (1)中的项目数

在基本情况下，所有树木的高度均为0。(1)当然满足了

现在假设所有树都满足（1），我们需要证明将任意两棵树与i，j（i <= j）个节点连接起来将创建一个新树，其最大高度为log（i + j）{{1 }}：

因为加入两棵树的过程会获取较小树的根节点并将其附加到较大树的根节点，所以新树的高度将为：

(2)

• log（j）：新树的高度仍然是较大树的高度
• 1 + log（i）：当两棵树的高度相同时

有关更多详细信息，请参见下图：

参考书：Algorithms

Answer 2

现在让我们假设，每个高度为h的树至少包含2 ^ h个节点。如果您加入两个这样的树会发生什么？

如果它们的大小不同，则合并树的高度与较高树的高度相同，因此新树的节点数仍大于2 ^ h（相同的高度，但节点数更多）。

现在，如果它们的高度相同，则生成的树将使其高度增加一，并且将包含至少2 ^ h + 2 ^ h = 2 ^（h + 1）个节点。因此条件仍然成立。

最基本的树（1个节点，高度0）也满足该条件。因此，可以通过将两棵树连接在一起来构建的所有树也都满足它。

现在，高度只是查找过程中要遵循的最大步骤数。如果一棵树有n个节点且高度为h（n> = 2 ^ h），则立即给出log2（n）> = h> =步骤。

Answer 3

您可以执行n个具有复杂度 O（n lg * n） 的联合查找（按等级或大小的联合），其中 lg * n 是使用inverse Ackermann function的path compression optimization。

请注意， O（n lg * n）优于 O（n log n）

在问题Why is the Ackermann function related to the amortized complexity of union-find algorithm used for disjoint sets?中，您可以找到有关此关系的详细信息。