使用主定理的推广来解决方程式

Question

我请求帮助解释证明的工作原理。我已经看过它的例子，但却无法理解它。

证明以下

等式的解决方案

T（n）= aT（n / b）+Θ（n ^k log ^p n）其中a≥1，b> 1。 1，p≥0

• T（n）= O（n ^{log _b a} ）如果a> B'SUP>ķ

• T（n）= O（n ^k log ^{p + 1} n）如果a = b ^k

• T（n）= O（n ^k log ^p （n））如果a＆lt; B'SUP>ķ

Here is the screenshot of the question in a better format

这是对主定理的推广。

Answer 1

对于某些x = log（n）/ log（b），其中n = b ^x 。将等式除以 ^x

  

T（b ^x ）/ a ^x = T（b ^x-1 ）/ a ^x-1 +Θ（（b ^k / a） ^x ·x ^p ·log ^p b）

m ^p ·q ^m 的总和，m <＆lt; x是

• 以q＆lt;的常数为界。 1
• 生长如x ^{p + 1} ，q = 1
对于q> 1，
• 由最后一项x ^p ·q ^x 支配。 1

识别q = b ^k / a并且替换back给出结果

• 对于＆lt; b ^k ：T（b ^x ）= O（a ^x ），或T（n）= O（n ^{log <子> b'/子>一}）
• 对于a = b ^k ：T（b ^x ）= O（x ^{p + 1} ·a ^x ），或T（n）= O（n ^{log _b a} ·log ^{p + 1} n）
• 表示＆gt; b ^k ：T（b ^x ）= O（x ^p ·b ^kx ）或T（n ）= O（N ^ķ·登录 ^p n）的