主定理证明中的问题

Question

我正在阅读 CLRS（Alglorithms简介，第3版）这本书，并且发现在主定理的证明中似乎存在错误。在页104中，为了将证明扩展到所有整数，它使用一个似乎不正确的不等式。在书上它说：

  

我们的第一个目标是确定深度k，使得nk是常数。   使用不等式[x]＆lt; = x + 1，我们得到

[x]这里表示x的上限，显然是[x] < x+1，而不是[x] <= x+1。此外，在第54页，还有另一个不平等确认了我的想法

x -1 <  flooring(x) <= x <= ceiling(x) < x+1

任何人都可以帮助澄清这一点，为什么他们会发生冲突？如果这种不平等是不正确的，那么整个证据就不会是正确的

Answer 1

分成两个案例：

1. [x] > x ---＆gt; [x] < x+1（琐碎，我认为你同意）
2. [x] = x ---＆gt; [x]+1 = x + 1 ---＆gt; [x] < x+1

与x-1 < floor(x)类似，分为两种情况：

1. floor(x) < x ---＆gt; floor(x) > x-1
2. floor(x) = x ---＆gt; floor(x) - 1 = x - 1 ---＆gt; floor(x) > x-1

所以，在最后一个等式中 - 所有剩下的都是floor(x)<=c<=ceil(x) - 这几乎直接来自他们的定义，并且从上述两个声明我们得到了：

x -1 <  flooring(x) <= x <= ceiling(x) < x+1