非混乱定理的证明

Question

我不能证明这个不搞乱的定理。这是一个定理，它说明如果你对矩阵的行和列进行排序，行将保持排序。

我已经阅读了一份说明的草图：

• 对行进行排序
• 置换行以对第一列进行排序
• 置换行，为每一行丢弃它的第一个元素，对第二列进行排序，依此类推。
• 不变量是每行保持排序行。 （无论那意味着什么 - 我引用了这些步骤）

我无法证明这一点。有人可以给我一个更详细的证据或链接到一些文件吗？

Answer 1

简单段落说明：如果行已排序，并且您有A列，B列，A列中的数字r和A列中的n数字小于或等于r，则：B列中最多n个数字小于r（对应于A列中的n个数字）。其余的等于或大于r。您可以将r作为A列中的任意数字，结果仍然有效。然后对每列使用相同的逻辑。

图片的详细说明：

我们可以从一个已经按行排序的简单矩阵开始：

如果我们按照第一个数字对彩色块进行排序，我们得到这个矩阵（注意，这基本上是对A列进行排序，还是用它拖动B列）：

现在，在下一张图片中，2小于或等于蓝色的所有内容。因此，无论您如何对B列进行排序，第1行仍将进行排序：

在下一张图片中，因为行和列A已排序，3小于或等于紫色的所有内容。因此，当列B排序时，3旁边的数字必须大于或等于它。因此，我们知道第2行将保持排序。

在下一张图片中，由于行A和列A已排序，因此3小于或等于黑色的所有内容。因此，当列B排序时，3旁边的数字必须大于或等于它。因此，我们知道第3行将保持排序。

对于最后一行，我们可以使用相同的逻辑。但是，我们还可以注意到，显然有一个数字会将最后一行排序（当前在它旁边的那一行，7）。如果不存在7，则另一个数字>列B排序后，必须。第4行将保持排序：

我们最终得到了这个：

对于尚未排序的列，并不总是的行将被排序。例如，请注意此行的矩阵排序：

[4 7 8  9]
[1 5 10 12]
[2 3 6  11]

如果我们对上面矩阵中的前两列进行排序，我们得到：

[1 3 8  9]
[2 5 10 12]
[4 7 6  11]

第3行未排序。但是，在排序第3列后，它将获得数字10，一切都会再次正常。