为什么以下代码的时间复杂度为O（n ^ 2）？

Question

void level_order_recursive(struct node *t , int h) //'h' is height of my binary tree
{                                                 //'t' is address of root node
    for(int i = 0 ; i <= h ; i++)  
    {
        print_level(t , i);
    }
} 

  

每次调用print_level（）之后，我认为递归函数被称为（2 ^ i）次。所以2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 .... 2 ^ h应该给出O（2 ^ n）的时间复杂度。我哪里出错？

void print_level(struct node * t , int i)
{
    if( i == 0)
        cout << t -> data <<" ";
    else
        {
            if(t -> left != NULL)
                print_level(t -> left , i - 1);   //recursive call
            if(t -> right != NULL)
                print_level(t -> right , i - 1); //recursive call
        }
}

Answer 1

你混淆了h和n。 h是树的高度。 n显然是树中元素的数量。因此print_level采用最坏情况O（$ 2 ^ i），但这也只是n。

最糟糕的情况发生在你有一个退化树，每个节点只有一个后继。在这种情况下，您有n个节点，但树的高度也是h = n。在这种情况下，每次调用print_level都需要i步，并且将i从1加到h = n得到O（$ n ^ 2）。

Answer 2

您始终从树t的根开始，每次将等级提高一（i），直到达到树h的高度。

你说它是一棵二叉树，但你没有提到任何属性，例如平衡左右。所以我假设它可以是一个不平衡的二叉树，因此在最坏的情况下树的高度可以是h = n，其中n是节点的数量（这是一个完全不平衡的树，看起来像一个列表实际上）。

这意味着level_order_recursive循环n次。即最糟糕的情况是树有n级别。

print_level接收根节点和要打印的级别。它以递归方式调用直到达到级别并打印出该级别。
即I。它循环 i次（递归调用每次减少i）。

所以你有1 + 2 + 3 + ... + h次迭代。自h = n以来，您获得了1 + 2 + 3 ... + n步骤。这是(n * (n+1))/2（高斯和公式），它位于O(n^2)。

如果你可以确保树是平衡的，那么你会改善最坏的情况，因为高度为h = ld(n)，其中 ld 表示二进制对数。

Answer 3

基于this或that，第3页和第4页，二分搜索算法（类似于我们的情况）的时间复杂度为T(n) = T(n/2) + c。 除此之外，浏览左侧和右侧子树，因此下面的公式中的2T（n / 2），因为这是一个遍历算法，而不是搜索算法。

在这里，我将遵守问题并使用＆＃39; h＆＃39;而不是＆＃39; n＆＃39;。

使用递归关系，您将获得以下证明：

Answer 4

在最坏的情况下，时间复杂度将是O（n ^ 2）但不能是2 ^ n，因为每个级别的时间复杂度将是 - > O（n）+ O（n-1）+ O（n-2）+ ... + O（1）最差O（n ^ 2）。