为什么这段代码中的时间复杂度为O（n）而不是O（n ^ 2）？

Question

为什么时间复杂度不是O（n ^ 2），而是O（n）？ 第一个循环不是n次，第二个循环也一样，所以变成O(n*n)，这是怎么回事？

void f(int n){

     for( ; n>0; n/=2){
         int i;
         for(i=0; i<n; i++){
             printf("hey");
         }
     }
}

Answer 1

  

第一个循环不是n次，第二个循环也一样，所以变成O(n*n)。

上述陈述为假，因为：

1. 外部循环没有运行n次。 （外部循环运行O(log n)次，但在这种情况下没有关系。）
2. 对于内部循环，循环次数会随着n的值的变化而变化。

要获取此代码的时间复杂度，我们应该计算内部循环主体执行的总次数。

1. 很明显，对于n的每个值，内部循环的主体执行了n次。
2. n的值由外部循环的for语句确定。它从函数的参数值开始，每次执行外循环主体时都减半。

因此，正如评论所指出的那样，由于n + n/2 + n/4 + n/8 + ... = 2n，该算法的时间复杂度为O(n)。

---

对此有一些更具体的数学证明：

找到一个整数k，使2^(k-1) < n <= 2^k。为此k：

1. 内部循环总数的下限是1 + 2 + 4 + ... + 2^(k-1) = 2^k - 1 >= n - 1 ∈ Ω(n)。
2. 内部循环总数的上限是1 + 2 + 4 + ... + 2^k = 2^(k+1) - 1 < 4n - 1 ∈ O(n)。

因此，内部循环的总数为Θ(n)和O(n)。