Question

函数Fn（n）的时间复杂度是递归调用Fn（1），Fn（2），Fn（3），...，Fn（n-1）来求解Fn（n）的时间复杂度。给出Fn（1）= 1作为基本条件。是O（n ^ n）还是更少。我认为它应该小于O（n ^ n），但我无法找到一种方法来获得这种递归的正确复杂性。

Fn（4）的递归树将是这样的

              Fn(4)
         /        |     \
      Fn(3)    Fn(2)   Fn(1)
     /   \        /
   Fn(2) Fn(1) Fn(1)
   /
Fn(1)

Answer 1

重复发生的情况如下：

T(1) = 1
T(n) = Σ T(i), from i = 1 to n-1

乍一看不是特别有用，是吗？因此，让我们将其分解为子问题，看看它们是什么样的：

   T(5) = T(4) + T(3) + T(2) + T(1)
=> T(5) = T(4) + T(3) + T(2) + 1

   // The sub problems
   T(4) = T(3) + T(2) + 1
   T(3) = T(2) + 1
   T(2) = 1

现在让我们将其中一些子问题替换回原来的问题：

   T(5) = T(4) + T(3) + T(2) + 1
=> T(5) = T(4) + T(4)
=> T(5) = 2T(4)

因此我们可以推断出复发真的如下：

T(n) = 2T(n-1)
T(n-1) = 2T(n-2)

所以我们可以将我们的重复重写为

T(n) = 2[ 2T(n-2) ]
T(n) = 2[ 2 [ 2T(n-3) ] ]
...
T(n) = 2^k [ T(n-k) ]

由于我们之前描述的基本情况是

T(1) = 1
// Therefore
n = 1
k = 1
n = k

现在我们可以用我们的重复代替：

   T(n) = 2^n [ T(1) ]
   T(n) = 2^n [ O(1) ]
=> T(n) = 2^n

因此，您的重现是O(2^n)

Answer 2

T（F（I））= T（F（I - 1））+ T（F（I - 1））+ O（1），所以它看起来像O（2 ^ n）。

（看看你的递归树，T（F（4））= T（F（3））+ T（F（2））+ T（F（1））+ O（1），而用T（F（3））代替T（F（2））+ T（F（1））你得到T（F（4））= T（F（3））+ T（F（3）））

Answer 3

我们可以通过归纳证明它是2 ^ n
首先我们证明F（n）=（2 ^ n-1）* F（1）
对于n = 1是正确的，所以让我们用n + 1来证明这一点 F（n + 1）= F（n）+ F（n-1）+ .. + F（1）
=（2 ^ n-1 + 2 ^ n-2 + ... + 2 ^ 0）* F（1）
=（（1-2 ^ n）/（1-2））* F（1）= 2 ^ n * F（1）
所以我们有了公式，从中可以很容易地获得复杂性

Answer 4

因为你记忆，它将是O（n）时间。你在内存中使用O（n）来补偿它。

递归树的时间复杂度

4 个答案: