证明图是二分的

Question

给出图G，其中每条边连接偶度节点和奇度节点。我怎样才能证明图是二分的？

提前致谢

Answer 1

因为根据定义，你已经有两个不相交的顶点集，这样只有一个顶点在一个集合中的顶点和另一个集合中的顶点之间。

偶数度节点是一组，奇数度节点是另一组。

Answer 2

选择任何节点，将其放入集合A.取所有链接到它的节点，将它们放入集合B.现在为添加的每个节点添加所有节点到相反的集合，并检查那些已经属于它们在正确集合中的集合之一。如果你遇到矛盾，那么图表就不是二分图。

如果你的邻居用完但剩下的节点仍然存在，再次选择任何节点并继续算法，直到你没有节点或发现矛盾为止。

Answer 3

这是威尔士 - 鲍威尔图着色算法：

1. 所有顶点都根据列表中度数的递减值排序V

2. 颜色以列表C

排序

3. V中的第一个非彩色顶点v用C中的第一个可用颜色着色。“可用”表示此算法以前未使用过的颜色

4. 遍历有序列表V的剩余部分，并且为每个没有相邻顶点具有相同颜色的顶点分配相同的颜色

5. 迭代应用步骤3和4，直到所有顶点都已着色

图表是二分的，如果它是2可着色的。这个直观的事实已在剑桥大学数学杂志131中得到证实。

当然，这是射击蚊子的大炮。如果图的顶点可以被分成两组，那么每个边都将第1组的顶点连接到第2组中的一个，你就已经有了这样的一个分区：每个边连接一组奇数顶点的顶点，到偶数度顶点集合中的顶点。

Answer 4

如果通过“证明”，你的意思是“找出”，完整的解决方案就在这里

Bipartite.java

它通过保留两个布尔数组来工作。一个标记的数组，用于检查是否已访问过某个节点，以及另一个彩色数组。然后它进行深度优先搜索，用替代颜色标记邻居。如果邻居标记的颜色相同，则图表不是二分图。