完全断开二分图

Question

我有一个断开的二分无向图。我想完全断开图表。只有我可以执行的操作是删除节点。删除节点将自动删除其边缘。任务是最小化要删除的节点数。图中的每个节点最多有4个边。

通过完全断开图表，我的意思是不应该通过链接连接两个节点。基本上是一个空边集。

Answer 1

我认为，你不能证明你的算法是最优的，因为事实上它并不是最优的。

要完全断开图表以最大限度地减少要删除的节点数，您必须删除属于图表最小顶点覆盖的所有节点。搜索最小顶点覆盖通常是NP完全的，但对于二分图，有一个多项式时间解决方案。

在图表中找到最大匹配（可能与Hopcroft–Karp algorithm）。然后使用König's theorem获取最小顶点覆盖：

  

考虑一个二分图，其中顶点被划分为左（L）和右（R）集。假设存在最大匹配，将边缘划分为匹配（E_m）中使用的边缘和不匹配（E_0）的边缘。令T由来自L的所有不匹配顶点以及通过沿着E_0的边缘从左到右沿着从E_m的边缘向右到左的所有顶点组成。这实际上意味着对于L中的每个不匹配的顶点，我们将在E_0和E_m的边之间交替的路径中出现的所有顶点添加到T中。

     

然后（L \ T）OR（R AND T）是最小顶点覆盖。

Answer 2

这是您建议的算法的反例。

最佳解决方案是删除节点A和B，即使它们的颜色不同。

Answer 3

我已经考虑过它的算法，但我无法证明它是否是最优的。

我的算法：在每个断开连接的子图上，我运行一个BFS并相应地对其进行着色。然后我确定用每种颜色着色的节点数量，并取两者中的最小值并存储。我重复每个子图的程序，然后加起来得到所需的最小值。如果正确的话，请帮助我证明算法。

编辑：上述算法不是最优的。已接受的答案已经过验证是正确的。

Answer 4

由于所有边缘都是从一个集合到另一个集合，因此使用BFS和使用2种颜色着色来找到这两个集合。然后删除较小集中的节点。

由于它们之间没有边缘，所以其余节点也会断开连接。

[作为预处理步骤，您可以先省去0边的节点。]