Question

一位朋友向我提出了一个看似真实的猜想，但我们都不能提出证据。这是问题所在：

给定一个具有不相交的非空顶点集U和V的连通二分图，使得| U |＆lt; | V |，所有顶点都在U或V中，并且没有边连接两个顶点同一组，则存在至少一个连接顶点a∈U和b∈V的边，使得度（a）>度（b）

证明U中至少有一个顶点的度数大于V中的一个，这是微不足道的，但为了证明一对存在并且连接它们的边正在困扰我们。

Answer 1

对于具有εU和b∈V的任何边e =（a，b），令w（e）= 1 / deg（b）-1 / deg（a）。对于任何顶点x，与x相等的所有边上的1 / deg（x）之和等于1，因为存在deg（x）这样的边。因此，所有边e上的w（e）之和等于| V | - | U |。由于| V | - | U |＆gt; 0，w（e）> 0表示索姆边e =（a，b），这意味着deg（a）> deg（b）。

Answer 2

通过矛盾证明它，即假设 deg（a）≤deg（b）∀（a，b）∈E，其中 E 是边缘集图（具有第一个元素在 U 中的约定，第二个在 V 中）。

对于F⊆E，通过 V（F）指定 V 的子集，该子集可通过edgeset F 访问，即：< / p>

V（F）= {b | （a，b）∈F}

现在按如下方式构建边缘集 F ：

F = empty set
For a ∈ U:
    add any edge (a,b)∈E to F
Keep adding arbitrary edges (a,b)∈E to F until |V(F)| = |U|

获得的集合 V（F）连接到 U 中的所有节点，因此我们必须假设

Σ_a∈U deg（a）≤Σ_b∈V（F） deg（b）

但是，由于 | U | = | V（F）| 和 | U |＆lt; | V | ，我们知道必须至少有一个＆＃ 34;未得＆＃34;节点v∈V\ V（F），并且由于图形已连接， deg（v）> 0 ，因此我们得到

Σ_a∈U deg（a）＆lt; Σ_b∈V deg（b）

这是不可能的;这对于二分图应该是相等的。

Bipartite连接图证明

2 个答案: