二部图中的双重匹配

Question

我在研究算法测试时遇到了以下问题，但未发布答案：

1. 最大双匹配问题-给定二部图G =（V =（LUR），E）描述了一种算法，该算法针对E中的每个顶点v返回E st中的一组边M，其中V最多为2 M中包含v的最大大小的边。

2. 定义：“强双匹配”是对V中每个顶点v的双匹配st，M中至少有一个包含v的边。给定二分图G =（V =（LUR）， E）和强双精度匹配M，描述一种算法，该算法返回最大大小的强双精度匹配M'。证明答案。

所以我已经设法解决

1）使用归约最大流量：将顶点的s和t以及从s到L的边以及从R到t的边分别以2的容量相加，并定义L和R之间的每个边的容量为无穷大容量。使用Dinic算法找到最大流量，并返回L和R之间具有正流量的所有边。

大约2）我考虑过以某种方式操纵网络，以便每个顶点都有正向流量，然后以某种方式使用算法构造最大解。有什么想法吗？运行时限制为O（V ^ 2E）（Dinics运行时）

Answer 1

这是使用minimum cost flow的O（n ^ 3）解决方案。

回想一下我们如何为标准的二分匹配建立网络。

1. 对于 L 中的每个顶点 u ，将 S 中的单位容量边添加到 u ； < / li>
2. 对于每个边 uv ，其中 u 来自 L ，而 v 来自 R < / em>，在 u 和 v 之间添加一条边。请注意，它的容量并不重要，只要至少是一个即可。
3. 对于 R 中的每个顶点 v ，将 u 中的单位容量边添加到 R 中。 / li>

现在，我们保持中心部分不变，并稍微改变左右部分。

1. 对于 L 中的每个顶点 u ，将 S 中的两个单位容量边添加到 u ，其中一个成本为-1，另一个成本为0；

与边缘相同 v-> S 。

忽略成本，这与您自己建立的网络相同。这里的最大流量对应于最大的双重匹配。

现在，我们找到大小为 k 的最小成本流。它对应于某种双重匹配，而其中的一种对应于接触最大可能数目的顶点的匹配，因为接触一个顶点（即，推动至少单位流量通过）会降低1的成本。第二次顶点不会降低成本，因为第二条边的成本为0。

我们如何解决：对于每个 k = 1，...，2n 迭代找到最小成本流，并取对应于最小成本的值。

使用Johnson's algorithm（也称为具有电位的Dijkstra's），每次迭代可获得O（n ^ 2），总体上为O（n ^ 3）。

P.S。 Dinic算法在单位图中的运行时间更好，在二部图中达到O（E sqrt（V））。